Enunciado

37 - A velocidade do som viajando através da água do oceano, com salinidade de 35 partes por mil tem sido modelada pela equação

C = 1499,2 + 4,6 T - 0,055 T 2 + 0,00029 T 3 + 0,016 D

onde C é a velocidade do som (em metros por segundo), T é a temperatura (em graus Celsius), e D é a profundidade do oceano (em metros).

Um mergulhador começou um mergulho de lazer na água do oceano; a profundidade do mergulhador e a temperatura da água ao seu redor, como função do tempo, são registradas nos gráficos abaixo.

Estime a taxa de variação (com respeito ao tempo) da velocidade do som através da água do oceano, experimentada pelo mergulhador após 20 minutos de mergulho. Quais são as unidades?

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo certinho?

Nessa questão nós temos uma função C que nos dá a velocidade do som nas águas do oceano em função da temperatura e da profundidade.

Além disso, temos gráficos dessas quantidades em função do tempo e queremos saber a taxa de variação da velocidade do som nas águas oceânicas em função do tempo quando o mergulhador está há 20 minutos na água.

Então queremos calcular

d C d t   q u a n d o   t = 20   m i n .

Sabemos que C não depende explicitamente de t , então precisamos usar a regra da cadeia se quisermos obter d C / d t .

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) onde x = x ( t ) e queremos determinar a derivada de f com relação a esse parâmetro t , devemos fazer

d f d t = d f d x ⋅ d x d t

Analogamente, se temos uma função   C = C ( T , D ) , onde essas variáveis dependem de outra variável t , devemos aplicar a mesma lógica acima. Cada variável da função C vai dar origem a um termo, portanto teremos a soma de dois termos:

d C d t = ∂ C ∂ T ⋅ d T d t + ∂ C ∂ D ⋅ d D d t

Dessa forma, nosso trabalho será calcular essas derivadas no tempo t = 20   m i n .

Vamos às contas...

Passo 2

Nessa questão, é dada a função:

C = 1449,2 + 4,6 T - 0,055 T 2 + 0,00029 T 3 + 0,016 D

Vamos calcular as derivadas de C com relação a T e D :

∂ C ∂ T = 4,6 - 2 ⋅ 0,055 T + 3 ⋅ 0,00029 T 2

Então

∂ C ∂ T = 4,6 - 0,11 T + 0,00087 T 2

Além disso,

∂ C ∂ D = 0,016

Passo 3

Estimando os valores de d T d t e d D d t quando t = 20   m i n :

Podemos olhar o valor de t = 25   m i n e notar que isso corresponde a uma profundidade de 10   metros. Aí estimamos a derivada ao fazer Δ D / Δ t nesse intervalo:

d D d t =   10 - 7 25 - 20 = 0,6

Analogamente, estimaremos d T / d t pela média Δ T / Δ t :

d T d t = 12 - 12,5 25 - 20 = - 0,1

Passo 4

Uma vez possuindo os valores estimados, podemos calcular d C d t após 20 minutos.

d C d t = 4,6 - 0,11 ⋅ 12,5 + 0,00087 12,5 2 ⋅ - 0,1 + 0,016 ⋅ 0,6

d C d t =   - 0,33 m s ⋅ m i n

Resposta

d C d t =   - 0,33 m s . m i n .

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