Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 19d
Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.
d)
Passo 1
Pelo teorema , se , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que admite uma função potencial . Vamos então calcular para verificar polo teorema se o campo é conservativo.
Então basta fazermos o seguinte:
Podemos observar que , portanto o campo vetorial é conservativo em um domínio simplesmente conexo que não contém pontos da reta , e admite uma função potencial .
Passo 2
Agora vamos então encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Usamos a segunda equação e a integramos em função de , assim temos:
Agora derivamos a encontrada em função de e comparamos com a primeira equação.
Comparando com a segunda equação temos:
Podemos colocar em evidencia
Tiramos o mínimo múltiplo comum de e somamos
Podemos simplificar do termo
Agora integramos para encontrarmos .
Assim temos que a função potencia é :
Resposta
Campo vetorial conservativo em um domínio simplesmente conexo que não contém pontos da reta , admite uma função potencial .