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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 13a

Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.

a) f x , y , z = z x + ln ⁡ x y

Passo 1

Precisamos saber aqui, que uma função f é harmônica se, e somente se, f é solução da equação de Laplace.

∇ 2 f = 0

Ou seja:

div ⁡ grad ⁡ f = 0

Passo 2

Então precisamos primeiro calcular o gradiente de f . Podemos calcular ∇ f da seguinte forma:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ z x + ln ⁡ x y ∂ x i → + ∂ z x + ln ⁡ x y ∂ y j → + ∂ z x + ln ⁡ x y ∂ z k →

∇ f = z + 1 x y y i → + 1 x y x j → + x k →

∇ f = z + 1 x i → + 1 y j → + x k →

Passo 3

Agora que encontramos ∇ f , podemos calcular div ⁡ grad ⁡ f , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ grad ⁡ f = ∂ grad ⁡ f 1 ∂ x + ∂ grad ⁡ f 2 ∂ y + ∂ grad ⁡ f 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em grad ⁡ f temos:

div ⁡ grad ⁡ f = ∂ ∂ x z + 1 x + ∂ ∂ y 1 y + ∂ ∂ z x

div ⁡ grad ⁡ f = - 1 x 2 - 1 y 2 + 0

div ⁡ grad ⁡ f = - y 2 - x 2 x 2 y 2

div ⁡ grad ⁡ f = - x 2 + y 2 x 2 y 2

Temos então f não é uma função harmônica, pois div ⁡ grad ⁡ f = - x 2 + y 2 x 2 y 2 ≠ 0 .

Resposta

div ⁡ grad ⁡ f = - x 2 + y 2 x 2 y 2

f não é harmônica

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Calcular a integral I = ∫ C [ x e x d x - ( x + 2 y ) d y ] , onde C é:c) A poligonal de (0,0) a (0,1) a (-1,-2).
Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,0 ,0 ) ao ponto B 1 ,1 ,2 , ao longo dos seguintes caminhos:b) A poligonal ACB , onde C3, 3 ,1 .
Se f = 2 x 3 y z e v → = x 3 i → + x z j → + sen ⁡ x k → Calcular:a) ∇ f + rot ⁡ v →
Sendo u → = 2 x z i → + x 2 - z 2 j → + x 2 + 2 z k → , calcular rot ⁡ rot ⁡ u → .
Se f = 2 x 3 y z e v → = x 3 i → + x z j → + sen ⁡ x k → Calcular:b) div ⁡ f v →