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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 9a

Se f = 2 x^3 y z e vec v = x^3 vec i + x z vec j + sen x vec k

Calcular:

a) (grad f) + rot vec v

Passo 1

Queremos encontrar (grad f) + rot vec v . Para isso precisamos primeiro calcular o gradiente de f .

O gradiente de f é o seguinte:

grad f = ((del (f))/(del x)) vec i + ((del (f))/(del y)) vec j + ((del (f))/(del z)) vec k

grad f = ((del (2 x^3 y z))/(del x)) vec i + ((del (2 x^3 y z))/(del y)) vec j + ((del (2 x^3 y z))/(del z)) vec k

grad f = (6 x^2 y z) vec i + (2 x^3 z) vec j + (2 x^3 y) vec k

Passo 2

Agora temos que calcular o rot vec v . Para isso, basta fazermos o seguinte:

rot vec v = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[v_1,v_2,v_3]]|

rot vec v = ((del v_3)/(del y) - (del v_2)/(del z)) vec i + ((del v_1)/(del z) - (del v_3)/(del x)) vec j + ((del v_2)/(del x) - (del v_1)/(del y)) vec k

Aplicando a formula cima em vec v temos:

vec v = x^3 vec i + x z vec j + sen x vec k

rot vec v = ((del (sen x))/(del y) - (del (x z))/(del z)) vec i + ((del (x^3))/(del z) - (del (sen x))/(del x)) vec j + ((del (x z))/(del x) - (del (x^3))/(del y)) vec k

rot vec v = (0 - x) vec i + (0 - cos x) vec j + (z - 0) vec k

rot vec v = (- x) vec i + (- cos x) vec j + (z) vec k

Passo 3

Com grad f e rot vec v calculado, podemos então encontrar (grad f) + rot vec v usando soma de vetores.

(grad f) + rot vec v = [(6 x^2 y z) vec i + (2 x^3 z) vec j + (2 x^3 y) vec k] + [(- x) vec i + (- cos x) vec j + (z) vec k]

(grad f) + rot vec v = (6 x^2 y z - x) vec i + (2 x^3 z - cos x) vec j + (2 x^3 y + z) vec k

Resposta

(grad f) + rot vec v = (6 x^2 y z - x) vec i + (2 x^3 z - cos x) vec j + (2 x^3 y + z) vec k

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