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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 27c

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,   x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,   0 ,   0 ) ao ponto B 1 ,   1 ,   2 , ao longo dos seguintes caminhos:

b) A poligonal A   C   B , onde C   3   , 3 ,   1 .

Passo 1

Bora continuar!

A primeira coisa a fazer é a parametrização, certo?

Então nós teremos duas retas, AC e CB. Começando por AC, a reta no espação R 3 a equação paramétrica será dada por:

x = 0 + t 3 - 0 → x = 3 t

y = 0 + t 3 - 0 → y = 3 t

z = 0 + t 1 - 0 → z = t

Então:

f → = 2 x y ,   x 2 , 3 z → f → = ( 18 t 2 , 9 t 2 , 3 t )

E quanto ao intervalo?

Podemos nos atentar ao fato que x = 3 t e o x vai de 0 até 3:

0 ≤ t ≤ 1

Até aqui tranquilo?

Então vamos continuar!!

Passo 2

A definição (4) nos trás que:

I = ∫ C f → .   d r → = ∫ C ( f 1 d x + f 2 d y + f 3 d z )

No nosso caso:

= ∫ C ( 2 x y d x + x 2 d y + 3 z d z )

Já temos x, y e z, mas precisamos das suas derivadas para substituirmos:

d x = 3 d t

d y = 3 d t

d z = d t

Na integral:

= ∫ 0 1 ( 54 t 2 d t + 27 t 2 d t + 3 t d t )

= ∫ 0 1 ( 81 t 2 d t + 3 t d t )

Integrando:

= 81 t 3 3 + 3 t 2 2

= 27 t 3 + 3 t 2 2

No intervalo:

= 57 2

Passo 3

Na reta CB, a reta no espação R 3 a equação paramétrica será dada por:

x = 3 + t 1 - 3 → x = 3 - 2 t

y = 3 + t 1 - 3 → y = 3 - 2 t

z = 1 + t 2 - 1 → z = 1 + t

Então:

f → = 2 x y ,   x 2 , 3 z → f → = ( 18 - 24 t + 8 t 2 , 9 - 12 t + 4 t 2 , 3 + 3 t )

E quanto ao intervalo?

Podemos nos atentar ao fato que x = 3 - 2 t e o x vai de 1 até 3:

0 ≤ t ≤ 1

Já temos x, y e z, mas precisamos das suas derivadas para substituirmos:

d x = - 2 d t

d y = - 2 d t

d z = d t

Na integral:

= ∫ 0 1 ( - 36 + 48 t - 16 t 2 ) d t + ( - 18 + 24 t - 8 t 2 ) d t + ( 3 + 3 t ) d t )

= ∫ 0 1 ( - 5 1 + 75 t - 24 t 2 ) d t

Integrando:

= - 5 1 + 75 t 2 2 - 24 t 3 3

= - 5 1 t + 75 t 2 2 - 8 t 3

No intervalo:

= - 5 1 + 75 2 - 8

= - 43 2

Se o caminho é a soma destes dois passos:

= 57 2 - 43 2

= 7

Resposta

7

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As linhas de escoamento (ou linhas de corrente) de um campo vetorial são as trajetórias seguidas por uma partícula cujo campo de velocidade é um campo vetorial dado. Assim, os vetores do campo vetoria
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = - y k →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = 1 2 i → + 1 2 j →
Esboce o campo vetorial F → , desenhando um diagrama como o da Figura 5 ou da Figura 9 . F → x , y = x - y i → + x j →