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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 13b

Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.

b) f x , y = 2 x 2 - y 2 + y + 10

Passo 1

Precisamos saber aqui, que uma função f é harmônica se, e somente se, f é solução da equação de Laplace.

∇ 2 f = 0

Ou seja:

div ⁡ grad ⁡ f = 0

Passo 2

Então precisamos primeiro calcular o gradiente de f . Podemos calcular ∇ f da seguinte forma:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ 2 x 2 - y 2 + y + 10 ∂ x i → + ∂ 2 x 2 - y 2 + y + 10 ∂ y j →

∇ f = 4 x i → + - 4 y + 1 j →

Passo 3

Agora que encontramos ∇ f , podemos calcular div ⁡ grad ⁡ f , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ grad ⁡ f = ∂ grad ⁡ f 1 ∂ x + ∂ grad ⁡ f 2 ∂ y

Aplicando a formula cima em grad ⁡ f temos:

div ⁡ grad ⁡ f = ∂ ∂ x 4 x + ∂ ∂ y - 4 y + 1

div ⁡ grad ⁡ f = 4 - 4

div ⁡ grad ⁡ f = 0

Temos então f é uma função harmônica em R 2 , pois div ⁡ grad ⁡ f = 0 .

Resposta

div ⁡ grad ⁡ f = 0

f é harmônica em R 2 .

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