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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 7e

Sejam vec f = ( x z , z y , x y ) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) . Determinar:

grad xx (vec f xx vec g)

Passo 1

A questão nos pede pra calcular grad xx (vec f xx vec g) . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial vec f xx vec g , ou seja, do produto vetorial entre vec f e vec g . Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo. Além disso, sabemos também calcular esse produto vetorial.

Vamos considerar o campo vec f :

vec f (x , y , z) = f_1 (x , y , z) vec i + f_2 (x , y , z) vec j + f_3 (x , y , z) vec k

Que também pode estar escrito como:

vec f (x , y , z) = (f_1 , f_2 , f_3)

E o campo vec g :

vec g (x , y , z) = (g_1 , g_2 , g_3)

O produto vetorial deles é:

vec f xx vec g = |[[vec i,vec j,vec k],[f_1,f_2,f_3],[g_1,g_2,g_3]]|

O rotacional desse campo vai ser:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]| = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Bora lá! Os campos dessa questão são:

vec f = ( x z , z y , x y )

vec g = (x^2 , y^2 , z^2)

Então,

f_1 = x z

f_2 = z y

f_3 = x y

g_1 = x^2

g_2 = y^2

g_3 = z^2

Então o produto vetorial é:

vec f xx vec g = |[[vec i,vec j,vec k],[x,z,z,y,x,y],[x^2,y^2,z^2]]|

Desenvolvendo,

vec f xx vec g = (z^3 y - x y^3) vec i - (x z^3 - x^3 y) vec j + (x y^2 z - x^2 y z) vec k

Passo 3

Agora vamos pro rotacional desse campo que obtivemos:

vec h = vec f xx vec g = (z^3 y - x y^3) vec i + (- x z^3 + x^3 y) vec j + (x y^2 z - x^2 y z) vec k

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

(del h_3)/(del y) = (del (x y^2 z - x^2 y z))/(del y) = 2 x y z - x^2 z

(del h_2)/(del z) = (del (- x z^3 + x^3 y))/(del z) = - 3 x z^2

(del h_1)/(del z) = (del ( z^3 y - x y^3 ))/(del z) = 3 y z^2

(del h_3)/(del x) = (del ( x y^2 z - x^2 y z ))/(del x) = y^2 z - 2 x y z

(del h_2)/(del x) = (del ( - x z^3 + x^3 y ))/(del x) = - z^3 + 3 x^2 y

(del h_1)/(del y) = (del ( z^3 y - x y^3 ))/(del y) = z^3 - 3 x y^2

Agora é só substituir!

grad xx (vec f xx vec g) = ( 2 x y z - x^2 z + 3 x z^2 ) vec i + (3 y z^2 - y^2 z + 2 x y z) vec j + (- z^3 + 3 x^2 y - z^3 + 3 x y^2) vec k

Arrumando,

grad xx (vec f xx vec g) = ( 2 x y z - x^2 z + 3 x z^2 ) vec i + (3 y z^2 - y^2 z + 2 x y z) vec j + (- 2 z^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2) vec k

Acabamos!

Resposta

grad xx (vec f xx vec g) = ( 2 x y z - x^2 z + 3 x z^2 ) vec i + (3 y z^2 - y^2 z + 2 x y z) vec j + (- 2 z^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2) vec k

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