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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 27a

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( 2 x y ,   x 2 , 3 z ) , do ponto A ( 0 ,   0 ,   0 ) ao ponto B 1 ,   1 ,   2 , ao longo dos seguintes caminhos:

a) Segmento de reta que une os pontos dados.

Passo 1

Bora continuar!

A primeira coisa a fazer é a parametrização, certo?

Como nós temos a reta no espação R 3 a equação paramétrica será dada por:

x = 0 + t 1 - 0 → x = t

y = 0 + t 1 - 0 → y = t

z = 0 + t 2 - 0 → z = 2 t

Então:

f → = 2 x y ,   x 2 , 3 z → f → = ( 2 t 2 ,   t 2 , 6 t )

E quanto ao intervalo?

Podemos nos atentar ao fato que x = t e o x vai de 0 até 1:

0 ≤ t ≤ 1

Até aqui tranquilo?

Então vamos continuar!!

Passo 2

A definição (4) nos trás que:

I = ∫ C f → .   d r → = ∫ C ( f 1 d x + f 2 d y + f 3 d z )

No nosso caso:

= ∫ C ( 2 x y d x + x 2 d y + 3 z d z )

Já temos x, y e z, mas precisamos das suas derivadas para substituirmos:

d x = d t

d y = d t

d z = 2 d t

Na integral:

= ∫ 0 1 ( 2 t 2 d t + t 2 d t + 6 t ( 2 d t ) )

= ∫ 0 1 ( 3 t 2 d t + 12 t d t )

Integrando:

= 3 t 3 3 + 12 t 2 2

= t 3 + 6 t 2

No intervalo:

= 7

E acabamos !!

Resposta

7

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Trace o campo vetorial gradiente de f e o mapa de contorno de f . Explique como eles estão relacionados. f x ,y = s e n ( x + y )
O que há de especial nos campos independentes do caminho?
Calcule as integrais nos Exercícios 5 e 6.6. ∫ ( 1,1 , 1 ) ( 10,3 , 3 ) d x - z yd y - y zd z
Calcule as integrais nos Exercícios 5 e 6.5. ∫ ( - 1,1 , 1 ) ( 4 , - 3,0 ) d x + d y + d z x + y + z