Calcular a integral do campo vetorial f → = (2xy, x^2, 3z) , do ponto A(0, 0, 0) ao ponto B(1, 1, 2) ao longo dos seguintes caminhos:

a) Segmento de reta que une os pontos dados.

Passo 1

Bora continuar!

A primeira coisa a fazer é a parametrização, certo?

Como nós temos a reta no espação R 3 a equação paramétrica será dada por:

x = 0 + t 1 - 0 → x = t

y = 0 + t 1 - 0 → y = t

z = 0 + t 2 - 0 → z = 2 t

Então:

f → = 2 x y ,   x 2 , 3 z → f → = ( 2 t 2 ,   t 2 , 6 t )

E quanto ao intervalo?

Podemos nos atentar ao fato que x = t e o x vai de 0 até 1:

0 ≤ t ≤ 1

Até aqui tranquilo?

Então vamos continuar!!

Passo 2

A definição (4) nos trás que:

I = ∫ C f → .   d r → = ∫ C ( f 1 d x + f 2 d y + f 3 d z )

No nosso caso:

= ∫ C ( 2 x y d x + x 2 d y + 3 z d z )

Já temos x, y e z, mas precisamos das suas derivadas para substituirmos:

d x = d t

d y = d t

d z = 2 d t

Na integral:

= ∫ 0 1 ( 2 t 2 d t + t 2 d t + 6 t ( 2 d t ) )

= ∫ 0 1 ( 3 t 2 d t + 12 t d t )

Integrando:

= 3 t 3 3 + 12 t 2 2

= t 3 + 6 t 2

No intervalo:

= 7

E acabamos !!

Resposta

7

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