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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.10 - Ex. 13d

Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.

d) f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Precisamos saber aqui, que uma função f é harmônica se, e somente se, f é solução da equação de Laplace.

∇ 2 f = 0

Ou seja:

div ⁡ grad ⁡ f = 0

Passo 2

Então precisamos primeiro calcular o gradiente de f . Podemos calcular ∇ f da seguinte forma:

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

∇ f = ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x i → + ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y j → + ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z k →

∇ f = 2 x i → + 2 y j → + 2 z k →

Passo 3

Agora que encontramos ∇ f , podemos calcular div ⁡ grad ⁡ f , então basta fazermos o seguinte:

div ⁡ grad ⁡ f = ∂ grad ⁡ f 1 ∂ x + ∂ grad ⁡ f 2 ∂ y + ∂ grad ⁡ f 3 ∂ z

Aplicando a formula cima em grad ⁡ f temos:

div ⁡ grad ⁡ f = ∂ ∂ x 2 x + ∂ ∂ y 2 y + ∂ ∂ z 2 z

div ⁡ grad ⁡ f = 2 + 2 + 2

div ⁡ grad ⁡ f = 6

Temos então f não é uma função harmônica, pois div ⁡ grad ⁡ f = 6 ≠ 0 .

Resposta

div ⁡ grad ⁡ f = 6

f não é harmônica

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