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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 2k

2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:

k) ∫ 0 1 ∫ 0 1 sec 3 ⁡ x d y   d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1

Logo o gráfico é o seguinte:

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a y . Trate x como uma constante no primeiro caso, por conta da primeira integral ser em relação a y .

∫ 0 1 sec 3 ⁡ x d y =

sec 3 ⁡ x   y 0 1 = sec 3 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos integrar em função de x , levando em conta o valor obtido na integral de y . Assim temos:

∫ 0 1 sec 3 ⁡ x   d x =

Aplicando a fórmula:

Com n = 3

1 2 ∫ sec ⁡ x d x + sec ⁡ x t g   x 2 =

1 2 sec ⁡ x t g   x + 1 2 ln ⁡ | sec ⁡ x + t g x | + c

∫ 0 1 sec 3 ⁡ x   d x = 1 2 sec ⁡ x t g x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x 0 1 =

= 1 2 sec ⁡ 1 t g   1 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ 1 + t g   1

Resposta

1 2 sec ⁡ 1 t g   1 + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ 1 + t g   1

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