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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 29a

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( - y , x ) ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:

  1. Circunferência de centro na origem e raio 2;

Passo 1

Primeiro precisamos parametrizar nossa curva, o que na verdade até que é fácil, visto que nos foi dado que ela tem centro na origem e raio 2. Assim nossa parametrização no senti anti-horário será

r → t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t

Ficando assim com

d r → t = - 2 s e n   t , 2 cos ⁡ t d t

Como é uma superfície fechada, temos que t ∈ 0,2 π

Passo 2

Precisamos resolver a seguinte integral

∫ A B f → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π f → r → t ⋅ d r → t

Temos que

f → r → t = ( - 2 s e n   t , 2 cos ⁡ t )

e

f → r → t ⋅ d r → t = 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t = 4 d t

∫ 0 2 π 4 d t = 8 π

Simples, não?

Resposta

  1. 8 π
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