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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 4a

4. Verifique que

a)

int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = a r c s e n (x) + k , - 1 < x < 1

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

De primeira pode parecer muita mágica, mas com o tempo essa ideia vai se repetir. Vamos lá!

Lá da trigonométrica a gente sabe o seguinte:

s e n^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1

Isolando o cos (theta) :

cos (theta) = sqrt(1 - s e n^2 (theta))

Viu que ficou parecido?! Então vem comigo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição

x = s e n (theta) , theta in ( - (pi)/(2) , (pi)/(2) )

Derivando,

d x = cos (theta) d theta

Nossa integral era:

I = int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Usando nossa substituição:

I = int (1)/(sqrt(1 - s e n^2 (theta))) cos (theta) d theta

Isto é,

I = int (1)/(sqrt(cos^2 (theta))) cos (theta) d theta

Passo 3

No intervalo ( - (pi)/(2) , (pi)/(2) ) cos (theta) > 0 . Logo,

I = int (1)/(cos (theta)) cos (theta) d theta

Simplificando:

I = int d theta = theta + k

Agora é só voltarmos para variável x .

x = s e n (theta) -> theta = a r c s e n (x)

Portanto,

I = a r c s e n (x) + k

Então tá verificado!

int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = a r c s e n (x) + k , - 1 < x < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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f)int ( 3 + c o s x )^() d x
b)int e^(- x) d x
e)int s e n 5 x^() d x
d)int cos 3 x^() d x
c) int ( x + 3 e^x ) d x