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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 14

Seja f x = 2 x - x 2 + 3 , x ∈ R .

  1. Verifique que f ' é contínua em R
  2. Verifique que f ' x ≠ 0 em R
  3. Tendo em vista que f ' 0 > 0 , conclua que f é estritamente crescente.

(Sugestão: Veja Exercício 13 .)

Passo 1

  1. Vamos calcular f ' x :

    2. f ' x = 2 x - x 2 + 3 ' = 2 x 1 - 1 - 1 2 x 2 + 3 1 2 - 1 x 2 + 3 ' = 2 x 0 - 1 2 x 2 + 3 - 1 2 2 x 2 - 1 + 0 = 2 - x x 2 + 3

    Temos que f ' x é contínua em todo x , pois não há nenhuma restrição.

    Passo 2

  2. Aqui temos que x < x 2 + 3 para todo x , assim x x 2 + 3 nunca será igual 2 , o que faria com que f ' x = 0 , assim f ' x ≠ 0 em R .

    3. Passo 3

  3. Como f ' é contínua e nunca se anula, vamos ter que f ' x > 0 para todo x ou f ' x < 0 em todo x . Assim, f ou é estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Vamos calcular f ' 0 :

f ' 0 = 2 - 0 0 2 + 3 = 2

Temos que f ' x > 0 em todo x , assim é estritamente crescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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