Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 7
Verifique a aproximação linear dada em . A seguir, determine os valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que a aproximação linear de , em , é aproximadamente . Além disso, ele pediu pra gente determinar um intervalo de valores de para os quais a aproximação linear tem precisão de .
Pra isso, a gente precisa lembrar que a reta tangente é a reta que melhor aproxima uma função em um ponto. E que por isso a fórmula da aproximação linear é bem parecida com a equação da geral reta, olha só:
Então, o que nós vamos fazer é calcular uma aproximação linear para , com , usando essa fórmula, e verificar se o resultado é mesmo . Depois, para que a gente tenha uma aproximação linear com precisão de , vamos colocar o resultado da aproximação dentro desse intervalo:
E a partir daí encontrar o intervalo de que atende essas condições.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos verificar a aproximação pela fórmula de linearização. Então, temos:
Assim, primeiro vamos calcular a derivada da função , que vai ser dada por:
Daí, temos e . Então, substituindo na fórmula, vamos obter:
Portanto, a aproximação linear é verdadeira e está verificada.
Passo 3
Agora para que tenha uma aproximação linear com precisão de precisamos que:
Calculando a exponencial em todos os termos:
Temos:
Isolando nessa equação, vamos obter:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉