Verifique que 1 + t + t^2 + … + t^n = (1 - t^(n+1)) / (1 - t) (t != 1) . Conclua que, se |t| < 1,

lim n → ∞ ⁡ 1 + t + t 2 + … + t n = 1 1 - t

Ou seja,

1 / (1 - t) = 1 + t + t^2 + …

Passo 1

Bem, vamos utilizar um truque para encontrar a relação do enunciado. Vamos definir o seguinte:

x ≡ t + t 2 + t 3 + … + t n

Bem, temos então o seguinte:

1 + x =   1 + t + t 2 + … + t n

Multiplicando os dois lados por t, temos :

t 1 + x =   t + t 2 + t 3 + … + t n + t n + 1

Ou seja,

t 1 + x =   x + t n + 1

Colocando x em evidência:

x = t - t n + 1 1 - t  

Então, temos o seguinte:

1 + x = 1 + t - t n + 1 1 - t   = 1 - t + t - t n + 1 1 - t  

Portanto:

1 + t + t 2 + t 3 + … + t n = 1 - t n + 1 1 - t  

Passo 2

Se t < 1   , temos que:

lim n → ∞ ⁡ t n = 0

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ 1 - t n 1 - t = 1 1 - t

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ 1 + t + t 2 + … + t n = 1 1 - t

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 1 + t + t 2 + … + t n = 1 1 - t

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