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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 7a

Verifique que 1 + t + t^2 + ... + t^n = (1 - t^(n + 1))/(1 - t) ( t != 1 ) . Conclua que, se |t| < 1 ,

underset(n -> oo)(lim) [1 + t + t^2 + ... + t^n] = (1)/(1 - t)

Ou seja,

(1)/(1 - t) = 1 + t + t^2 + ...

Passo 1

Bem, vamos utilizar um truque para encontrar a relação do enunciado. Vamos definir o seguinte:

x -= t + t^2 + t^3 + ... + t^n

Bem, temos então o seguinte:

1 + x = 1 + t + t^2 + ... + t^n

Multiplicando os dois lados por t, temos :

t (1 + x) = t + t^2 + t^3 + ... + t^n + t^(n + 1)

Ou seja,

t (1 + x) = x + t^(n + 1)

Colocando x em evidência:

x = (t - t^(n + 1))/(1 - t)

Então, temos o seguinte:

1 + x = 1 + (t - t^(n + 1))/(1 - t) = (1 - t + t - t^(n + 1))/(1 - t)

Portanto:

1 + t + t^2 + t^3 + ... + t^n = (1 - t^(n + 1))/(1 - t)

Passo 2

Se |t| < 1 , temos que:

underset(n -> oo)(lim) t^n = 0

Portanto:

underset(n -> oo)(lim) (1 - t^n)/(1 - t) = (1)/(1 - t)

Portanto:

underset(n -> oo)(lim) [1 + t + t^2 + ... + t^n] = (1)/(1 - t)

Resposta

underset(n -> oo)(lim) [1 + t + t^2 + ... + t^n] = (1)/(1 - t)

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Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1. f x = 1 x - 2 ; a = 1 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.3 .f x = x 3 2 ; a = 4 ; n = 3 .
30. Prove o Teorema 11.5.2.
29. Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio P x = x 4 - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1 como um polinômio em potências de x - 1 .