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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 9

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

9 .   f x = l n x ; a = 1 ; n = 3 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f 1 + f ´ 1 1 ! . x - 1 + f ´ ´ 1 2 ! . x - 1 2 + f 3 1 3 !   . x - 1 3

Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número a = 1 .

Como f x = l n   x , temos que :

f 1 = l n 1 = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = 1 x

f ´ 1 = 1

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = - 1 / x 2

f ´ ´ 1 = - 1

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = 2 / x 3

f 3 1 = 2

Passo 6

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 3 x = 0 + 1 1 ! . x - 1 + - 1 2 ! . x - 1 2 + 2 3 !   . x - 1 3

P 3 x = 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 2 x - 1 3

Passo 7

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quarta derivada da função dada:

f 4 x = - 6 / x 4

f 4 ε = - 6 / ε 4

Passo 8

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 3 x = f 4 ε 4 ! . x - 1 4 = - 6 / ε 4 4 ! . x - 1 4 ,   c o m   ε   e n t r e   1   e   x

Resposta

P 3 x = 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2 + 1 2 x - 1 3

R 3 x = - 6 / ε 4 4 ! . x - 1 4

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