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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 30

Encontre f ´ ( x ) e f ´ ´ ( x ) .

f (x) = (x)/(3 + e^x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da seguinte função:

f (x) = (x)/(3 + e^x)

Para isso precisaremos encontrar a primeira derivada utilizando algumas regrinhas.

Depois, basta derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada!!

Bom... para calcular f ´ ( x ) temos que lembrar da regrinha do quociente...

Sejam h e g duas funções deriváveis, então a derivada do quociente h // g é dada por:

(d)/(d x) [(h (x))/(g (x))] = ((g (x) (d)/(d x) [h (x)] - h (x) (d)/(d x) [g (x)]))/([g (x)]^2)

Lembrou ?!

Agora, vamos aplicar essa regra, né ?

Passo 2

Para isso vamos admitir o nosso g (x) = 3 + e^x e h (x) = x .

Vamos, agora, calcular as derivadas dessas funções para substituirmos na fórmula:

(d)/(d x) h ( x ) = 1

(d)/(d x) g ( x ) = e^x

Substituindo na fórmula:

f ´ (x) = ((3 + e^x) * 1 - x * e^x)/(( 3 + e^x )^2)

Fim! (dessa primeira parte, hahaha)

Mantenha um foco só mais um pouquinho porque ainda temos que calcular f ´ ´ ( x ) .

Passo 3

Achamos essa expressão para f ´ (x) :

f ´ (x) = (( 3 + e^x ) - x e^x)/(( 3 + e^x )^2)

Partindo dessa expressão, nós vamos ter que calcular f ´ ´ ( x ) . Isso quer dizer que também precisamos usar a regra do quociente.

Aqui, h (x) = 3 + e^x - x e^x e g (x) = (3 + e^x)^2 , certinho??

Calculando as derivadas dessas funções, temos:

(d)/(d x) h (x) = (d)/(d x) 3 + (d)/(d x) e^x - (d)/(d x) x e^x

Passo 4

Você pode estar se perguntando porque fragmentar a função para calcular a derivada ???

É porque vamos ter que usar a regra do produto para a última derivada.

Eu acho uma boa lembramos dessa regra:

(d)/(d x) [v (x) u (x)] = v (x) (d)/(d x) [u (x)] + u (x) (d)/(d x) [ v (x) ]

Se considerarmos v (x) = x e u (x) = e^x , temos as seguintes derivadas:

(d)/(d x) v (x) = 1

(d)/(d x) u (x) = e^x

Substituindo na fórmula:

(d)/(d x) x e^x = x e^x + e^x

Assim,

(d)/(d x) h (x) = e^x - ( x e^x + e^x )

Passo 5

Temos que calcular a derivada de g ( x ) . Nós podemos escrever a função assim:

g (x) = (3 + e^x) ( 3 + e^x )

Isso nos permite usar a regra do produto de novo né?!

Como u (x) = v ( x ) ,

(d)/(d x) v (x) = (d)/(d x) u (x) = e^x

Substituindo na fórmula da regra do produto:

(d)/(d x) g (x) = (3 + e^x) e^x + (3 + e^x) e^x = 2 e^x ( 3 + e^x )

Passo 6

Agora, vamos organizar o que nós temos:

h (x) = 3 + e^x - x e^x

(d)/(d x) h (x) = e^x - ( x e^x + + e^x )

E

g (x) = (3 + e^x)^2

(d)/(d x) g (x) = 2 e^x ( 3 + e^x )

Substituindo na fórmula da regra do quociente, temos:

f ´ ´ (x) = (((3 + e^x)^2 ( e^x - ( x e^x + e^x ) ) - ( 3 + e^x - x e^x ) ( 2 e^x ( 3 + e^x )))/((3 + e^x)^4)

Dando uma ajeitada nisso, temos:

f ´ ´ (x) = (- 3 x e^x + x e^(2 x) - 6 e^x - 2 e^(2 x))/((3 + e^x)^3)

Fim!

Resposta

f ´ (x) = (( 3 + e^x ) - x e^x)/(( 3 + e^x )^2)

f ´ ´ (x) = (- 3 x e^x + x e^(2 x) - 6 e^x - 2 e^(2 x))/((3 + e^x)^3)

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