Verifique, por derivação que a fórmula está correta.

∫ cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 x + 1 4 sen ⁡ 2 x + C

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Aqui temos que provar, usando derivação que a seguinte igualdade está correta:

∫ cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 x + 1 4 s e n 2 x + C

A ideia aqui é a gente se ligar no conceito de integral, beleza?

A integral é uma antiderivada, ou seja, quando integramos uma função, o resultado obtido é a função tal que a derivada nos fornece o integrando. Mais claramente:

Da mesma forma que a multiplicação e a divisão, sacou?

Ou seja, a derivada de:

1 2 x + 1 4 sen ⁡ 2 x + C

Deve ser igual a:

cos 2 ⁡ x

Mas como faremos isso??

Vamos relembrar algumas derivadas presentes aqui:

c x ' = c

( sen ⁡ x ) '   = cos ⁡ x

E por fim a regra da cadeia, que para decorar eu uso a frase: “A integral de fora vezes a integral de dentro”:

f g x ' = f g x ' ⋅ g x '

Por último, mas não menos importante, vamos precisa de uma identidade trigonométrica:

cos ⁡ ( 2 x ) = 2 ⋅ cos 2 ⁡ x - 1

Agora estamos preparados para a questão!

Passo 2

O que temos que fazer aqui é derivar o lado o direito da igualdade. Vamos chama-la de:

F x = 1 2 x + 1 4 s e n ( 2 x )

Precisamos usar a regra da cadeia para resolver a parte de seno de 2 x :

1 4 sen ⁡ 2 x ' = 1 4 sen ⁡ 2 x ' ⋅ 2 x '

Resolvendo as duas integrais de uma vez:

1 4 sen ⁡ 2 x ' = 1 4 cos ⁡ ( 2 x ) ⋅ 2

1 4 sen ⁡ 2 x ' = 2 ⋅ 1 4 cos ⁡ ( 2 x )

E agora é só simplificar

1 4 sen ⁡ 2 x ' = 1 2 cos ⁡ ( 2 x )

Agora a gente resolve a outra parte da derivada:

1 2 x ' = 1 2

Juntando tudo:

f x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

Passo 3

Agora a gente precisa usar uma identidade trigonométrica pra transformar a nossa resposta em cos 2 ⁡ x , temos:

f x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

Podemos colocar 1 2 em evidência:

f x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

Agora sim, vamos usar aquela identidade trigonométrica do passo 1:

f x = 1 2 1 + 2 cos 2 ⁡ x - 1

Simplificando:

f x = cos 2 ⁡ x

E assim chegamos à função que foi integrada! Aweee, então provamos que:

∫ cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 x + 1 4 sen ⁡ 2 x + C

Resposta

∫ cos 2 ⁡ x   d x = 1 2 x + 1 4 sen ⁡ 2 x + C

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