Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 2
Verifique, por derivação que a fórmula está correta.
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Aqui temos que provar, usando derivação que a seguinte igualdade está correta:
A ideia aqui é a gente se ligar no conceito de integral, beleza?
A integral é uma antiderivada, ou seja, quando integramos uma função, o resultado obtido é a função tal que a derivada nos fornece o integrando. Mais claramente:
Da mesma forma que a multiplicação e a divisão, sacou?
Ou seja, a derivada de:
Deve ser igual a:
Mas como faremos isso??
Vamos relembrar algumas derivadas presentes aqui:
E por fim a regra da cadeia, que para decorar eu uso a frase: “A integral de fora vezes a integral de dentro”:
Por último, mas não menos importante, vamos precisa de uma identidade trigonométrica:
Agora estamos preparados para a questão!
Passo 2
O que temos que fazer aqui é derivar o lado o direito da igualdade. Vamos chama-la de:
Precisamos usar a regra da cadeia para resolver a parte de seno de :
Resolvendo as duas integrais de uma vez:
E agora é só simplificar
Agora a gente resolve a outra parte da derivada:
Juntando tudo:
Passo 3
Agora a gente precisa usar uma identidade trigonométrica pra transformar a nossa resposta em , temos:
Podemos colocar em evidência:
Agora sim, vamos usar aquela identidade trigonométrica do passo 1:
Simplificando:
E assim chegamos à função que foi integrada! Aweee, então provamos que:
