Avalie as somas superiores e inferiores para , com e 4. Ilustre com diagramas como Figura 14.

Vamos começar esboçando o gráfico da função :

Observe que as linhas em azul estão delimitando nosso intervalo . Agora vamos usar o gráfico para estimar a nossa área.

Agora, vamos calcular a soma superior através de retângulos. Perceba que da nossa fórmula e . Dessa forma, temos:

Como precisamos de 4 retângulos, temos . Daí,

Então, vamos definir os intervalos:

Tranquilo até aqui?

Para encontrar a soma superior, vamos escolher os maiores valores do intervalo.

Como é decrescente em até , corresponde aos extremos da esquerda do intervalo. E a partir de os da direita.

Ou seja .

Substituindo isso na fórmula de área do somatório, temos:

Olhando no gráfico, vamos extrair os valores de :

Que correspondem aos retângulos:

Show?

De modo semelhante, temos para a soma inferior:

Substituindo na fórmula:

E calculando:

Desenhando esses retângulos no gráfico, temos:

Bacana, não é?

Agora vamos usar 3 retângulos, ou seja, quando . Daí, temos:

Definindo os intervalos:

Vamos achar a soma superior, escolhendo os maiores valores do intervalo.

Como é decrescente em até , corresponde aos extremos da esquerda do intervalo. E a partir de os da direita.

Ou seja:

Substituindo esses pontos na fórmula do somatório, temos:

Olhando no gráfico, pra extrair os :

Que correspondem aos retângulos:

Maravilha!

Da mesma forma, calculando a soma inferior, vamos ter:

Daí, extraindo os valores no gráfico e calculando, temos:

Esboçando o diagrama:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉