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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 1f

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

f ) e x 2 + y 2 x   d x + y   d y

Passo 1

Pra ser exata, a gente tem uma condição necessária pra satisfazer, sendo P o termo que acompanha d x e Q o de d y :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Vamos verificar isso então:

Nesse caso aqui a gente tem P = x e x 2 + y 2 e Q = y   e x 2 + y 2 .

2 x y e x 2 + y 2 = 2 x y e x 2 + y 2

Beleza! Condição satisfeita! Vamos achar a primitiva dessa coisinha linda agora...

Passo 2

Integrando cada termo em relação a variável d x   a   g e n t e   i n t e g r a   e m   x ,   e   a s s i m   p o r   d i a n t e a gente vai ter:

φ x , y = ∫ x e x 2 + y 2   d x = e x 2 + y 2 2 + A ( y )

φ x , y = ∫ x 2   d y = e x 2 + y 2 2 + B ( x )

(aqui é o mesmo procedimento do campo conservativo)

Uma função que se encaixa nessas igualdades é:

φ x , y = e x 2 + y 2 2

Então, como a função do exercício admite essa função como primitiva, ela é exata.

Resposta

É exata.

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Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 3 y 2 - x ² y 5 d y d x+ x 2 y 4 = 0 , y 1 = 1 ²
Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva. 1 x + 1 x 2 - y x 2 + y ² d x + y . e y + x x 2 + y ² d y = 0 ² ²