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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 1c

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

c ) vec F (x , y , z) = (x - y) vec i + (x + y + z) vec j + z^2 vec k

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a vec F . Ou seja:

grad f (x , y) = vec F (x , y)

Então a gente pode fazer o seguinte:

(del f)/(del x) = x - y

(del f)/(del y) = x + y + z

(del f)/(del z) = z^2

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f (x , y , z) = (x^2)/(2) - x y + A ( y , z )

f (x , y , z) = x y + (y^2)/(2) + y z + B ( x , z )

f (x , y , z) = (z^3)/(3) + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí. Veja só, a gente tem uns termos em uma que não se encaixam na outra. Por exemplo, y z não se encaixa em f (x , y , z) = (z^3)/(3) + C ( x , y )

(teria que ser um termo com x e y só).

Ou seja, não tem uma função que encaixe nas três igualdades. Logo, o campo não é conservativo!

Resposta

Não.

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O campo vetorial é conservativo? Explique.