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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 1e

O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

e ) vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + z vec k

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a vec F . Ou seja:

grad f (x , y) = vec F (x , y)

Então a gente pode fazer o seguinte:

(del f)/(del x) = x

(del f)/(del y) = y

(del f)/(del z) = z

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f (x , y , z) = (x^2)/(2) + A ( y , z )

f (x , y , z) = (y^2)/(2) + B ( x , z )

f (x , y , z) = (z^2)/(2) + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí.

Aqui a gente não tem termo repetido em nenhuma, mas veja que cada termo de uma se encaixa na outra ( (x^2)/(2) se encaixa nas outras duas, assim como os outros termos). Sendo assim, a função é:

f (x , y , z) = (x^2)/(2) + (y^2)/(2) + (z^2)/(2) + K

Como existe a tal função, o campo é conservativo!

Resposta

Sim.

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Determine uma função f tal que F = ∇ f e Use a parte (a) para calcular ∫ F ⋅ d r sobre a curva C dada. F x , y , z = s e ny i ^ + x cos ⁡ y + cos ⁡ z j ^ - ( ys e nz ) k ^ C : r t = s e nti ^ + t j ^
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = e xs e ny , e ys e nz , e zs e nx
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = sen ⁡ y zi + sen ⁡ z x j + sen ⁡ x yk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x y 2 z 2i + x 2 y z 2j + x 2 y 2 zk
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente dos campos vetoriais. F x , y = x y e zi + y z e x k