O campo vetorial dado é conservativo? Justifique.

e) F(x, y, z) = xi + yj + zk

Passo 1

Bom, pra um campo ser conservativo, precisamos ter uma função f tal que o gradiente de f seja igual a F → . Ou seja:

∇ f x , y = F → x , y

Então a gente pode fazer o seguinte:

∂ f ∂ x = x

∂ f ∂ y = y

∂ f ∂ z = z

Passo 2

Integrando cada caso encontramos:

f x , y , z = x 2 2 + A ( y , z )

f x , y , z = y 2 2 + B ( x , z )

f x , y , z = z 2 2 + C ( x , y )

Bom, a gente precisa de uma função que se encaixe nesses quesitos aí.

Aqui a gente não tem termo repetido em nenhuma, mas veja que cada termo de uma se encaixa na outra ( x 2 2 se encaixa nas outras duas, assim como os outros termos). Sendo assim, a função é:

f x , y , z = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 + K

Como existe a tal função, o campo é conservativo!

Resposta

Sim.

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