Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 6
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução
Passo 1
Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.
Suponha uma equação dada da seguinte forma
Dizemos que ela é exata, se e somente se
Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial
Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...
Passo 2
Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.
Vamos reescrever nosso problema como
Assim usando a ideia de variáveis separáveis
Assim temos que
Logo nossa equação não pe exata e não possui solução
Resposta
Não é exata
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y^' = e^(x + y)
(d y)/(d x) + (2 y^2 + 6 x y - 4)/(3 x^2 + 4 x y + 3 y^2) = 0
(2 (x)/(y) - (y)/(x^2 + y^2)) + ((x)/(x^2 + y^2) - (x^2)/(y^2)) (d y)/(d x) = 0
(x + y) + (x + 2 y) (d y)/(d x) = 0 , y (2) = 3
(x^2 y + x y - y) + (x^2 y - 2 x^2) (d y)/(d x) = 0