Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 6
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução
Passo 1
Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.
Suponha uma equação dada da seguinte forma
Dizemos que ela é exata, se e somente se
Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial
Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...
Passo 2
Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.
Vamos reescrever nosso problema como
Assim usando a ideia de variáveis separáveis
Assim temos que
Logo nossa equação não pe exata e não possui solução
Resposta
Não é exata
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y ' = e x + y
d y d x + 2 y 2 + 6 x y - 4 3 x 2 + 4 x y + 3 y 2 = 0
2 x y - y x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 - x 2 y 2 d y d x = 0
x + y + x + 2 y d y d x = 0 , y 2 = 3
x 2 y + x y - y + x 2 y - 2 x 2 d y d x = 0