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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 9

9) Seja f uma função par e contínua em - r , r ,   r > 0 . (Lembre-se f   p a r ↔ f - x = f x . )

  1. Mostre que ∫ - r 0 f x d x = ∫ 0 r f x d x
  2. Conclua de (a) que ∫ - r r f x d x = 2 ∫ 0 r f x d x .   Interprete graficamente

Passo 1

a) Essa pode assustar porque é de demonstração, mas é só ir com calma!

Nossa integral era:

I = ∫ - r 0 f x   d x  

Fazendo trocando x por - x :

I = ∫ r 0 f - x   - d x = - ∫ r 0 f - x   d x

Não esquece: Temos que mudar os limites de integração também!

Nesse caso,

- r → r

Passo 2

Como nossa função f é par: f - x = f ( x )

Logo,

I = - ∫ r 0 f - x   d x =   - ∫ r 0 f x   d x = ∫ 0 r f x   d x

Não esquece: ∫ a b f x d x =   - ∫ b a f x d x  

Passo 3

Agora é só correr pro abraço!

I = ∫ - r 0 f x   d x = ∫ 0 r f x   d x    

b)

Do item acima, podemos concluir o seguinte:

∫ - r r f x d x = ∫ - r 0 f x d x +   ∫ 0 r f x d x   = ∫ 0 r f x d x   + ∫ 0 r f x d x   = 2 ∫ 0 r f x d x    

Isso significa que a área de abaixo da curva de   ( - r ,   0 )   é igual a área entre ( 0 , r ) !

Resposta

A área de abaixo da curva de   ( - r ,   0 )   é igual a área entre ( 0 , r )

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6. Utilizando o Exercício 5, calcule. f )∫ x + 1 x 2 - x - 2 d x
6. Utilizando o Exercício 5, calcule. g )∫ 2 x 2 - 5 x + 6 d x
6. Utilizando o Exercício 5, calcule. c )∫ x x 2 - 4 d x
6. Utilizando o Exercício 5, calcule. h )∫ x - 3 x 2 + 3 x + 2 d x
8. Calculea) ∫ 1 5 + x 2d x