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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7i

i) int_0^3 (x)/(sqrt(x + 1)) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u = 1 + x ( * )

Derivando,

d u = d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 -> u = 1 + 0 = 1

x = 3 -> u = 1 + 3 = 4

Repara que quando derivamos apareceu que d u = d x . Além disso, temos que x = u - 1

Nossa integral era:

int_0^3 (x)/(sqrt(x + 1)) d x

E vai ficar assim ó:

int_1^4 (u - 1)/(sqrt(u)) d u

Pra facilitar nossa vida, podemos quebrar essa integral em duas parte:

int_1^4 (u - 1)/(sqrt(u)) d u = int_1^4 (u)/(sqrt(u)) d u - int_1^4 (1)/(sqrt(u)) d u = int_1^4 sqrt(u) d u - int_1^4 (1)/(sqrt(u)) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

int_1^4 sqrt(u) d u - int_1^4 (1)/(sqrt(u)) d u = ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) - (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) |_1^4 = ((2)/(3) u sqrt(u) - 2 sqrt(u)) |_1^4 =

Cuidado com as contas! ((2)/(3) * 4 * 2 - 2 * 2) - ((2)/(3) * 1 * 1 - 2 * 1) = (16)/(3) - 4 - (2)/(3) + 2 = (14)/(3) - 2 = (8)/(3)

Resposta

(8)/(3)

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a) int (1)/((x + 1) * (x - 1)) d x
h) int (x^2)/(x + 1) d x
5) Suponha α ,β ,m en constantes com α ≠ β . Mostre que existem constante A e B tais que m x + n x - α ⋅ x - β = A x - α + B x - β
d) int (x + (3)/(x - 2)) d x
f) int (x + 2)/(x - 1) d x