i) ∫ 0 3 x x + 1 d x  

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u =   1 + x       ( * )

Derivando,

d u = d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 → u = 1 + 0 = 1

x = 3 → u =   1 + 3 = 4

Repara que quando derivamos apareceu que   d u =   d x . Além disso, temos que x = u - 1

Nossa integral era:

∫ 0 3 x x + 1 d x  

E vai ficar assim ó:

∫ 1 4   u - 1 u d u  

Pra facilitar nossa vida, podemos quebrar essa integral em duas parte:

∫ 1 4 u - 1 u d u   =   ∫ 1 4 u u d u   -     ∫ 1 4 1 u d u =   ∫ 1 4 u   d u -     ∫ 1 4 1 u d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1  

Passo 3

Agora é só terminar!

∫ 1 4 u   d u -     ∫ 1 4 1 u d u   = u 1 2 + 1 1 2 + 1 -   u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 | 1 4 = 2 3 u u - 2 u | 1 4 =

Cuidado com as contas! 2 3 ⋅ 4 ⋅ 2 - 2 ⋅ 2 - 2 3 ⋅ 1 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 = 16 3 - 4 - 2 3 + 2 = 14 3 - 2   = 8 3

Resposta

8 3

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