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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7i

i) int_0^3 (x)/(sqrt(x + 1)) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável pra tentar trabalhar melhor com aquela raiz ali embaixo:

u = 1 + x ( * )

Derivando,

d u = d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 -> u = 1 + 0 = 1

x = 3 -> u = 1 + 3 = 4

Repara que quando derivamos apareceu que d u = d x . Além disso, temos que x = u - 1

Nossa integral era:

int_0^3 (x)/(sqrt(x + 1)) d x

E vai ficar assim ó:

int_1^4 (u - 1)/(sqrt(u)) d u

Pra facilitar nossa vida, podemos quebrar essa integral em duas parte:

int_1^4 (u - 1)/(sqrt(u)) d u = int_1^4 (u)/(sqrt(u)) d u - int_1^4 (1)/(sqrt(u)) d u = int_1^4 sqrt(u) d u - int_1^4 (1)/(sqrt(u)) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

int_1^4 sqrt(u) d u - int_1^4 (1)/(sqrt(u)) d u = ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) - (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) |_1^4 = ((2)/(3) u sqrt(u) - 2 sqrt(u)) |_1^4 =

Cuidado com as contas! ((2)/(3) * 4 * 2 - 2 * 2) - ((2)/(3) * 1 * 1 - 2 * 1) = (16)/(3) - 4 - (2)/(3) + 2 = (14)/(3) - 2 = (8)/(3)

Resposta

(8)/(3)

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Efetua a antidiferenciação.int (x^3 + 3)^(1 // 4) x^5 d x
Calcule a integral definida int_(- 3)^2 (3 x^3 - 24 x^2 + 48 x + 5)/((x - 4) ²) d x ²
Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral. ∫ d y y 3 + ( ln ⁡ y ) 2
Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral. ∫ 1 x 2 + 2 x + 5d x
Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral. ∫ t g - 1 yd y