Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 70
Depois de tomar um comprimido de antibiótico, a concentração do antibiótico na corrente sanguínea é modelado pela função
onde o tempo t é medido em horas e C é medido em . Qual é a concentração máxima do antibiótico durante as primeiras 12 horas?
Passo 1
Fala… belezinha?? O enunciado nos dá uma função que modela a concentração de antibiótico na corrente sanguínea de uma pessoa após tomar um comprimido.
E precisamos dizer qual é a concentração máxima do antibiótico durante as primeiras 12 horas após a ingestão.
Aqui a concentração varia com o tempo e é dada em .
Falando assim parece complicado, mas essa é uma questão onde precisamos achar o(os) pontos críticos da função, pra assim chegar no ponto de máximo!
Passo 2
Nessa questão vamos precisar derivar essa função aí:
E igualar a derivada a zero. Daí conseguimos achar qual é o tempo em que a concentração é máxima.
Daí depoooois substituímos esse tempo na função e achamos a concentração máxima.
Passo 3
Para achar o ponto crítico da função precisamos derivá-la e igualá-la a zero. Sendo a função
Podemos fazer a multiplicação distributiva do .
Agora basta derivar cada termo. E repare que temos em cada um dele uma função composta, sendo assim, usaremos a regra da cadeia. Lembrando que
Assim:
E arrumando um pouco melhor, ficamos com:
Passo 4
Agora a gente iguala a zero, a derivada, pra achar o tempo no ponto crítico, que, no nosso caso, é a concentração máxima:
Como , podemos olhar só para os parênteses. Assim:
Então:
Que pode ser escrito com:
Isso está meio feio, né?? Como tem esse dos dois lados, vamos aplicar logaritmo natural que aí, pelo menos, a gente desce os :
Atenção nas propriedades de log, heimm?
Oh… , lembra?
Jogando para a esquerda
E isolando, teremos:
E prontinho, esse é o nosso ponto crítico.
Passo 5
Boom… Mesmo que o tempo não seja um número bonitinho, mas achamos e bora jogar na função da concentração e achar a concentração máxima, quando :
Nossaaaa… ficou feio, mas calma, calma, calma…
Vamos manipular essas coisas:
Lembra também que ?
Invertendo pra deixar os expoentes positivos:
Não vamos esquecer as unidades, heim!?
Ufaaa… deu um trabalhinho, mas acabamos. Bora pra próxima?