Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

g x = cosh 4 ⁡ x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, nessa questão precisamos derivar a função

g x = cosh 4 ⁡ x

E para fazer isso precisamos olhar para o tipo de função que temos, assim saberemos qual a melhor regra de derivação para esse caso.

E repare que nossa função é formada por uma função cosh ⁡ x que está elevada a 4 . Sendo assim, dizemos que temos uma função composta, e para fazer sua derivação podemos usar a regra da cadeia.

Bora relembrar. Sendo

g x = cosh 4 ⁡ x

Chamando:

u = cosh ⁡ x    

g u = u 4

Sua derivada será dada por:

d g x d x = d g x d u ⋅ d u d x

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.

Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é

g x = cosh 4 ⁡ x

E estamos fazendo

u = cosh ⁡ x    

g u = u 4

E precisamos das suas derivadas, assim

Derivando u , temos que lembrar que essa é uma daquelas derivada trigonométricas tabeladas. Assim:

u = cosh ⁡ x    

Pela regra do expoente

d u d x = s e n h   ( x )

Já para a função

g u = u 4

Podemos derivar diretamente pela regra do expoente. Assim:

d g x d u = 4 u ³

Maravilha!

Passo 3

Lembrando que estamos fazendo

d g x d x = d g x d u ⋅ d u d x

Substituindo tudo que já encontramos, ficamos com

d g x d x = 4 u 3 ⋅ s e n h   ( x )

E substituindo u:

d g x d x = 4 cosh 3 ⁡ x ⋅ s e n h   ( x )

E prontinho, essa é nossa derivada.

Resposta

g ' x = 4 cosh 3 ⁡ x ⋅ s e n h   ( x )

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Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = s e n ( u ) u = 3 x + 1
Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = 6 u - 9 u = ((1)/(2)) x^4