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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 19

  1. Calcule as aproximações T 10 e M 10 para a integral

    2. ∫ 0 2 e - x 2 d x .

  2. Estime os erros nas aproximações na parte ( a ) .
  3. Qual o tamanho de n que devemos escolher para que as aproximações T n   e   M n para a integral na parte ( a ) tenham uma precisão de 0,00001 ?

Passo 1

Para utilizar cada um desses métodos (só aplicar na fórmula presente do livro) vamos utilizar os seguintes parâmetros

f x = e - x 2   e   ∆ x = 2 - 0 10 = 1 5

Para calcularmos T 10 vamos aplicar na fórmula presente no livro e, assim, teremos

T 10 = 1 5 ⋅ 2 ⋅ f 0 + 2 ⋅ f 0 , , 2 + f 0,4 + … + f 1,8 + f 2 ≈ 0,881839

Já para M 10 vamos ter

M 10 = 1 5 ⋅ f 0,1 + f 0,3 + f 0,5 + … + f 1,7 + f 1,9 ≈ 0,882202

Passo 2

Para encontrarmos o erro devemos encontrar os pontos de máximo da nossa função e para isso vamos necessitar derivá-la. Assim, teremos

f ' x = - 2 x e - x 2 → f ' ' x = 4 x 2 - 2 ⋅ e - x 2 → f ' ' ' ( x ) = 4 x ⋅ ( 3 - 2 x ² ) ⋅ e - x 2

Igualando a terceira derivada a 0 vamos ter

x = 0   o u   x = ± 3 2

Assim, no intervalo 0,2 vamos procurar o máximo valor da função aplicando na segunda derivada. Então, teremos

f ' ' 0 = 2 ,   f ' ' 2 ≈ 0,2564   e   f ' ' 3 2 ≈ 0,8925

Sendo assim, utilizando o teorema 3 vamos utilizar os seguintes parâmetros para calcular o erro de T n

k = 2 ,   a = 0   ,   b = 2   e   n = 10

Teremos

E t ≤ 2 ⋅ 2 3 12 ⋅ 10 2 = 0,01 3 -

Agora, o módulo do nosso erro para o método M n é dado por

E m ≤ E t 2 ≤ 0,00 6 -

Passo 3

Por fim, vamos para a última parte do exercício (finalmente, né?) que é descobrir qual é esse valor de n que devemos pegar para aproximarmos a integral com a precisão necessária por cada um dos métodos. Tomemos então k = 2 e utilizaremos novamente o teorema 3 para fazermos

E t ≤ K ⋅ b - a 3 12 n 2 ≤ 10 - 5

2 ⋅ 2 - 0 3 12 n 2 ≤ 10 - 5 → 3 4 ⋅ n 2 ≥ 10 5 → n ≥ 365,1 ≈ 366

Agora, para encontrarmos o valor de n para o método de M n , novamente utilizando k = 2 no teorema 3, teremos

E m ≤ 10 - 5 → 3 2 ⋅ n 2 ≥ 10 5 → n ≥ 258,2 ≈ 259

Resposta

a   T 10 = 0,881839     e   M 10 = 0,882202

b E t ≤ 0,01 3 -   e   E m ≤ 0,00 6 -

c P a r a   T n → n = 366   e   p a r a   M n → n = 259

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