Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.8 - Ex. 22

Use o fato de que

Para mostrar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo .

Passo 1

Já que o enunciado deu a derivada de uma função para a gente, podemos tentar usar essa função no Teorema do Valor Médio para provar o que ele pediu. Essa é carinha do Teorema:

A função é:

E a derivada:

Para usar o Teorema do Valor Médio precisamos garantir que nossa função é contínua e diferenciável no intervalo dado, que é entre e .

Olhando para nossa função, a gente vê que só dá problema se , porque está fora do domínio da derivada e da função. Como isso é fora do nosso intervalo, está tranquilo, Podemos seguir!

Passo 2

Vamos montar nosso Teorema: Já que nosso intervalo é , podemos dizer que e . E usando a nossa função :

E a gente sá sabe que .

Pelo Teorema, podemos dizer então que:

Isolando o :

Isso é exatamente a equação que precisamos provar que tem solução! Como essa relação que a gente achou veio do Teorema, que para as condições dadas, tem pelo menos uma solução, essa equação tem pelo menos uma solução nesse intervalo. 😊

Resposta

prova nos passos

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