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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 18

Verifique que o operador diferencial definido por

L y = y n + p 1 t y n - 1 + … + p n t y

É um operador diferencial linear. Ou seja, mostre que

L c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 L y 1 + c 2 L y 2 ,

Em que y 1 e y 2 são funções n vezes diferenciáveis e c 1 e c 2 são constantes arbitrárias. Portanto, mostre que, se y 1 ,   y 2 ,..., y n forem soluções de L y = 0 , então a combinação linear c 1 y 1 + … + c n y n também será solução de L y = 0 .

Passo 1

Neste exercício temos que mostrar que, se temos duas funções y 1 e y 2 que tornam o operador diferencial L [ y ] nulo, então, a combinação linear c 1 y 1 + … + c n y n também será solução. O que vamos fazer é começar demonstrando que c 1 y 1 e c 2 y 2 são soluções de L y = 0 e depois aplicar a soma c 1 y 1 + … + c n y n e verificar se essa combinação também é solução. Vamos lá???

Passo 2

Temos o operador diferencial linear:

L y = y n + p 1 t y n - 1 + … + p n t y

Se aplicarmos y = y 1 :

L y 1 = y 1 n + p 1 t y 1 n - 1 + … + p n t y 1 = 0

E y = y 2 :

L y 2 = y 2 n + p 1 t y 2 n - 1 + … + p n t y 2 = 0

Se multiplicarmos a função y 1 por uma constante c 1 :

y = c 1 y 1 y ' = c 1 y 1 ' . . . y n = c 1 y 1 n

Aplicando no operador:

L c 1 y 1 = c 1 y 1 n + c 1 p 1 t y 1 n - 1 + … + c 1 p n t y 1 =

L c 1 y 1 = c 1 y 1 n + p 1 t y 1 n - 1 + … + p n t y 1 =

L c 1 y 1 = c 1 L y 1 = 0

Repetindo mesmo procedimento para y = c 2 y 2 :

y = c 2 y 2 y ' = c 2 y 2 ' . . . y n = c 2 y 2 n

Aplicando no operador:

L c 2 y 2 = c 2 y 2 n + c 2 p 1 t y 2 n - 1 + … + c 2 p n t y 2 =

L c 2 y 2 = c 2 y 2 n + p 1 t y 2 n - 1 + … + p n t y 2 =

L c 2 y 2 = c 2 L y 2 = 0

Passo 3

Agora que já vimos que y = c 1 y 1 e y = c 2 y 2 também são soluções do operador vamos mostrar que uma combinação linear dessas soluções também é solução. Tudo bem???

Aplicando agora a equação y = c 1 y 1 + c 2 y 2 :

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 y ' = c 1 y 1 ' + c 2 y 2 ' . . . y n = c 1 y 1 n + c 2 y 2 n

Aplicando no operador:

L c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 y 1 n + c 1 p 1 t y 1 n - 1 + … + c 1 p n t y 1 + c 2 y 2 n + c 2 p 1 t y 2 n - 1 + … + c 2 p n t y 2

L c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 y 1 n + p 1 t y 1 n - 1 + … + p n t y 1 + c 2 y 2 n + p 1 t y 2 n - 1 + … + p n t y 2 =

L c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 L y 1 + c 2 L [ y 2 ]

L c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 x 0 + c 2 x 0 = 0

Então, generalizando o nosso resultado, conseguimos provar que se temos um conjunto de funções y 1 ,   y 2 ,..., y n que são soluções de uma equação, uma combinação linear destas funções também será solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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