Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 20
Nesse problema, mostramos como generalizar o Teorema 3.2.7 (Teorema de Abel) para equações de ordem maior. Vamos primeiro esboçar o procedimento para a equação de terceira ordem
Sejam e soluções dessa equação em um intervalo .
(a) Se , mostre que
(b) Substitua e a partir da equação diferencial; multiplique a primeira linha por , a segunda por e some-as à última linha para obter
(c) Mostre que
Logo, ou é sempre igual a zero ou nunca é nulo em .
(d) Generalize esse argumento para a equação de ordem
Com soluções . Ou seja, estabeleça a fórmula de Abel
Para esse caso.
Passo 1
O exercício nos mostra um passo a passo para obter uma forma mais simples de calcular o wronskiano para uma equação de ordem . Vamos tentar seguir os passos pedidos pelo enunciado para uma equação geral de terceira ordem e, ao final, devemos ser capazes de generalizar o raciocínio para uma equação de ordem . Vamos lá???
Nosso primeiro passo será obter a derivada do wronskiano, para uma equação com soluções e . O wronskiano é definido por:
O determinante da matriz em que cada coluna representa uma função solução e cada uma das suas derivadas até uma ordem a menos que a ordem da equação diferencial. Como nossa equação diferencial era de terceira ordem, nosso wronskiano deve ir até a segunda derivada. Tudo bem???
Voltando ao cálculo do wronskiano:
Se aplicarmos a derivada no wronskiano:
Que podemos reescrever como:
E, assim, demonstramos o que foi pedido no item (a).
Passo 2
Nosso próximo passo será aplicar a equação diferencial para substituir , e . Como é solução da equação:
Analogamente, para e :
O próximo passo será multiplicar a primeira linha de por . Ficamos então com:
Além disso, devemos multiplicar a segunda linha por :
E, então, somar esses resultados à última linha de . A terceira linha será:
Substituindo , e ficamos com:
Como o uso de combinações lineares não altera o valor do determinante, podemos substituir esta nova terceira linha no determinante e ficaremos com:
Comparando com o determinante podemos ver que as matrizes são idênticas, com exceção da última linha que é multiplicada por . Uma das propriedades de determinantes é que, se multiplicamos uma linha da matriz por determinado valor, é equivalente à multiplicar o valor do determinante pelo mesmo valor. Então, podemos escrever:
Passo 3
Continuando com o resultado anterior:
Integrando dos dois lados:
Chamando :
Pensando agora para uma equação
Teríamos um wronskiano da forma:
Seguindo o mesmo raciocínio, devemos chegar à:
Substituindo ficamos com:
E, somando a primeira linha por , a segunda por , e assim por diante, até a penúltima linha por e somar cada linha com a última, devemos chegar em algo da forma:
Que, como já discutimos anteriormente é o equivalente a multiplicar a última linha do wronskiano por . Então:
E, continuando o raciocínio:
Integrando dos dois lados:
Chamando :
Encontramos a mesma relação que obtivemos para o caso de uma equação de ordem 3. Portanto, esse resultado pode ser generalizado por uma equação de ordem .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)