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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 25

(a) Mostre que as funções f t = t 2 t e g t = t 3 são linearmente dependentes em 0 < t < 1 e em - 1 < t < 0 .

(b) Mostre que f ( t ) e g ( t ) são linearmente independentes em - 1 < t < 1 .

(c) Mostre que W ( f , g ) ( t ) é zero para todo t em - 1 < t < 1 .

Passo 1

Nosso primeiro passo será mostrar que f ( t ) e g ( t ) são linearmente dependentes nos intervalos pedidos. Duas funções são linearmente dependentes em um intervalo se, existirem constantes k 1 e k 2 que atendam à equação:

k 1 f t + k 2 g t = 0

Para todos os valores contidos no intervalo.

Passo 2

Para o intervalo 0 < t < 1 :

k 1 f t + k 2 g t = 0

k 1 t 2 t + k 2 t 3 = 0

Para t > 0 → t = t . Então:

k 1 t 2 t + k 2 t 3 = 0

k 1 t 3 + k 2 t 3 = t 3 k 1 + k 2 = 0

k 1 = - k 2

Portanto, as funções são linearmente dependentes em 0 < t < 1 .

Aplicando agora o intervalo - 1 < t < 0 :

k 1 f t + k 2 g t = 0

k 1 t 2 t + k 2 t 3 = 0

Para t < 0 → t = - t . Então:

k 1 t 2 ( - t ) + k 2 t 3 = 0

- k 1 t 3 + k 2 t 3 = t 3 - k 1 + k 2 = 0

k 1 = k 2

E, portanto, as equações são linearmente dependentes para - 1 < t < 0 .

O item (b) pede para mostrar que as funções são linearmente independentes no intervalo - 1 < t < 1 . Como vimos no item (a) para o intervalo 0 < t < 1 as equações são linearmente dependentes se k 1 = - k 2 e, no intervalo - 1 < t < 0 se k 1 = k 2 . Como não é possível atender as duas condições simultaneamente no intervalo - 1 < t < 1 , ou seja, não é possível garantir k 1 = k 2 = - k 2 , a menos que as constantes sejam nulas, concluímos que f ( t ) e g ( t ) são linearmente independentes.

Passo 3

Devemos agora aplicar o wronskiano para as funções f ( t ) e g ( t ) , para mostrar que W = 0 para o intervalo - 1 < t < 1 . Vamos começar calculando a derivada de cada função:

f t = t 2 t

f t = t 3 → p a r a   0 < t < 1

f t = - t 3 → p a r a - 1 < t < 0

f ' t = d d t t 3 → p a r a   0 < t < 1

f ' t = d d t - t 3 → p a r a - 1 < t < 0

f ' t = 3 t 2 → p a r a   0 < t < 1

f ' t = - 3 t 2 → p a r a - 1 < t < 0

g t = t 3

g ' t = d d t t 3 = 3 t 2

O wronskiano é definido como:

W = f ( t ) g ( t ) f ' ( t ) g ' ( t )

Primeiro, para o intervalo 0 < t < 1 :

W = t 3 t 3 3 t 2 3 t 2

Como as duas colunas são iguais, o determinante será zero em 0 < t < 1 .

Agora para o intervalo - 1 < t < 0 :

W = - t 3 t 3 - 3 t 2 3 t 2

Como a primeira coluna é igual à segunda coluna multiplicada por - 1 (ou seja, uma coluna é uma combinação linear da outra), pela propriedade de determinantes podemos dizer que W = 0 sem precisar calculá-lo.

Assim, como W = 0 para os dois subintervalos - 1 < t < 0 e 0 < t < 1 , mostramos que o wronskiano é nulo para - 1 < t < 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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