Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 51a
51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.
a)
Passo 1
Para que essas curvas sejam ortogonais entre si, o produto entre seus coeficientes angulares nos pontos de incidência têm que ser . Em outras palavras:
Sabendo disso, então devemos procurar duas coisas: os pontos em que as funções se encontram e as derivadas implícitas de ambas as funções, uma vez que essas derivadas são os coeficientes angulares, beleza? Lembrando também que para derivarmos implicitamente essas equações, devemos seguir os passos:
1. Derivar ambos os lados da equação em relação a , considerando como uma função derivável de ;
2. Agrupar os termos que possuem em um lado da equação e isolar .
Então bora lá!
Passo 2
Para descobrir os pontos, vamos substituir uma equação na outra:
Para , temos:
Para , temos:
Então os pontos que as funções incidem são:
Passo 3
Agora só precisamos determinar as derivadas das funções para iniciarmos as substituições dos pontos, beleza? Derivando, temos:
Passo 4
Agora que descobrimos as funções dos coeficientes angulares, vamos substituir os pontos para determinarmos se são, de fato, ortogonais.
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)