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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 51b

51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.

b) x = 1 - y 2 ,       x = 1 3 y ²

Passo 1

Para que essas curvas sejam ortogonais entre si, o produto entre seus coeficientes angulares nos pontos de incidência têm que ser - 1 . Em outras palavras:

m 1 . m 2 = - 1

Sabendo disso, então devemos procurar duas coisas: os pontos em que as funções se encontram e as derivadas implícitas de ambas as funções, uma vez que essas derivadas são os coeficientes angulares, beleza? Lembrando também que para derivarmos implicitamente essas equações, devemos seguir os passos:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Então bora lá!

Passo 2

Para descobrir os pontos, vamos substituir uma equação na outra:

x = 1 - y 2 ⇒ 1 3 y 2 = 1 - y ²

∴ y = ± 3 2

Para y = + 3 2 , temos:

x = 1 - y 2 ⇒ x = 1 - 3 4

∴ x = 1 4

Para y = - 3 2 , temos:

x = 1 - y 2 ⇒ x = 1 - 3 4

∴ x = 1 4

Então os pontos que as funções incidem são: 1 4 ,   3 2   e   1 4 ,   - 3 2 .

Passo 3

Agora só precisamos determinar as derivadas das funções para iniciarmos as substituições dos pontos, beleza? Derivando, temos:

x = 1 - y 2

1 = - 2 y . d y d x

∴ d y d x = - 1 2 y = m 1

x = 1 3 y ²

3 = 2 y . d y d x

∴ d y d x = 3 2 y = m 2

Passo 4

Agora que descobrimos as funções dos coeficientes angulares, vamos substituir os pontos para determinarmos se são, de fato, ortogonais.

Para 1 4 ,   3 2 , temos:

m 1 = - 1 2 . 3 2 = - 3 3

m 2 = 3 2 . 3 2 = 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Para 1 4 ,   - 3 2 , temos:

m 1 = - 1 2 . - 3 2 = 3 3

m 2 = 3 2 . - 3 2 = - 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoe) x 2 + 4 y 2 = 3