Se S   é uma esfera e F → satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que ∬ S r o t   F → ⋅ d S → = 0

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos considerar uma esfera centrada na origem e que tenha raio R . As regiões de interesse são os dois hemisférios: superior A 1 e inferior A 2 . Pelo Teorema de Stokes, temos:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∬ A 1 r o t   F → ⋅ d S → + ∬ A 2 r o t   F → ⋅ d S →

Ou, em termos das curvas de fronteira:

∮ F → ⋅ d r → = ∮ C 1   F → ⋅ d r → + ∮ C 2   F → ⋅ d r →

Passo 2

Mas as curvas C 1   e   C 2 são as mesmas, pois fazem parte da mesma esfera. Mas elas possuem orientações distintas. Sendo assim:

∮ C 1   F → ⋅ d r → = - ∮ C 2   F → ⋅ d r →

E substituindo ali em cima temos:

∮ F → ⋅ d r → = ∮ C 1   F → ⋅ d r → + ∮ C 2   F → ⋅ d r → = ∮ C 1   F → ⋅ d r → - ∮ C 1   F → ⋅ d r → = 0

Passo 3

Assim, pelo teorema temos:

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∮ F → ⋅ d r → = 0

Resposta

∬ S r o t   F → ⋅ d S → = ∮ F → ⋅ d r → = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados