Determine
onde é a reunião das curvas e dadas por ; , , . Especifique a orientação escolhida.
Passo 1
Antes de mais nada, vamos tentar construir essas curvas dadas!
- é dada por com a condição . Sabe-se que representa uma circunferência de raio e centro . A condição nos garante que queremos apenas os valores de positivos!
- é dada por com a condição . Assim, vemos que é o segmento de reta que passa pelos pontos e . Veja:
- é dado por , com a condição . Assim, vemos que é o segmento de reta que passa por e . Veja:
- Área de cada triângulo: .
- Área da semicircunferência:
Juntando essas nossas três regiões, temos
Podemos calcular essa integral de linha diretamente pela definição; porém, uma outra saída será usar o teorema de Green. Tal teorema afirma que se tomarmos a orientação positiva para , então será válida a igualdade:
onde é a área interna da região. Veja a figura abaixo:
Passo 2
Para a nossa integral, temos:
Logo,
Também,
Logo, temos que
Passo 3
Agora, note o seguinte:
A área da região D será a área pintada em azul na figura acima. Note que
Como temos dois triângulos, então a área total será .
Assim, temos
Resposta
.