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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 39

Uma viga em balanço (cantiléver) uniforme de comprimento L está engastada em seu extremo esquerdo ( x = 0 ) e livre em seu extremo direito. Encontre a deflexão y ( x ) se a carga por unidade de comprimento é dada por

w x = 2 w 0 L L 2 - x + x - L 2 u x - L 2

Passo 1

Salveeee cara! Saca só, queremos resolver essa equação aqui:

d 4 y d x 4 = w ( x ) E I

Para w x = 2 w 0 L L 2 - x + x - L 2 u x - L 2

Além disso, como é uma viga em balanço, temos

y 0 = 0             y ' 0 = 0           y ' ' L = 0             y ' ' ' L = 0

Belezinha, pra resolvermos nossa equação diferencial, vamos usar a Transformada de Laplace, ok?

Então antes de começarmos, deixa só eu lembrar algumas transformadas aqui pra você:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L y ( n ) t = s n . Y s - s n - 1 . y 0 - s n - 2 y ' 0 - … - y n ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora vamos!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

d 4 y d x 4 = 2 w 0 L . E I L 2 - x + x - L 2 u x - L 2

Vai ficar assim:

s 4 . Y s - s 3 . y 0 - s 2 y ' 0 - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = 2 w 0 L . E I L 2 . 1 s - 1 s 2 + 1 s 2 e - s L 2

Sabemos que y 0 = 0   e   y ' 0 = 0 .

O y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) a gente deixa assim por enquanto, porque são constantes que não sabemos o valor, certo?

s 4 . Y s - s . y ' ' 0 - y ' ' ' 0 = 2 w 0 L . E I L 2 . 1 s - 1 s 2 + 1 s 2 e - s L 2

s 4 Y s = 2 w 0 L . E I L 2 . 1 s - 1 s 2 + 1 s 2 e - s L 2 + s y ' ' 0 + y ' ' ' ( 0 )

Isolando Y ( s ) :

Y s = 2 w 0 L . E I . s 4 L 2 . 1 s - 1 s 2 + 1 s 2 e - s L 2 + s y ' ' 0 s 4 + y ' ' ' 0 s 4

Y s = 2 w 0 L . E I L 2 . 1 s 5 - 1 s 6 + 1 s 6 e - s L 2 + y ' ' 0 s 3 + y ' ' ' 0 s 4

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, fechou?

Passo 3

Temos

Y s = 2 w 0 L . E I L 2 . 1 s 5 - 1 s 6 + 1 s 6 e - s L 2 + y ' ' 0 s 3 + y ' ' ' 0 s 4

Vamos manipular os nossos termos algebricamente para termos as transformadas de x n , beleza?

Para isso, eles têm que ficar no formato n ! s n + 1 , então podemos multiplicar em cima e embaixo por valores que resultem nisso:

Y s = 2 w 0 L . E I L 2 . 1 4 ! 4 ! s 5 - 1 5 ! 5 ! s 6 + 1 5 ! 5 ! s 6 e - s L 2 + 1 2 ! y ' ' 0 . 2 ! s 3 + 1 3 ! y ' ' ' 0 3 ! s 4

Y s = 2 w 0 L . E I L 48 4 ! s 5 - 1 120 5 ! s 6 + 1 120 5 ! s 6 e - s L 2 + y ' ' 0 . 1 2 2 s 3 + y ' ' ' 0 . 1 6 3 ! s 4

Então, agora temos as transformadas de x n , portanto:

y x = 2 w 0 L . E I L 48 x 4 - 1 120 x 5 + 1 120 x - L 2 5 u x - L 2 + y ' ' 0 2 x 2 + y ' ' ' 0 6 x 3     ( I )

Agora precisamos encontrar o valor de y ' ' ( 0 ) e de y ' ' ' ( 0 ) ok?

E pra isso, vamos usar y ' ' L = 0             y ' ' ' L = 0

Passo 4

Temos

y x = 2 w 0 L . E I L 48 x 4 - 1 120 x 5 + 1 120 x - L 2 5 u x - L 2 + y ' ' 0 2 x 2 + y ' ' ' 0 6 x 3

Vamos encontrar y ' ' ( x ) e y ' ' ' ( x )

Derivando uma vez:

y ' x = 2 w 0 L . E I L 12 x 3 - 1 24 x 4 + 1 24 x - L 2 4 u x - L 2 + y ' ' 0 . x + 1 2 y ' ' ' 0 . x ²

Derivando de novo:

y ' ' x = 2 w 0 L . E I L 4 x 2 - 1 6 x 3 + 1 6 x - L 2 3 u x - L 2 + y ' ' 0 + y ' ' ' 0 . x

Última vez hahahaha:

y ' ' ' x = 2 w 0 L . E I L 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x - L 2 2 u x - L 2 + y ' ' ' ( 0 )

Agora vamos aplicar y ' ' L e y ' ' ' ( L )

Passo 5

Sabemos que y ' ' L = 0 , então:

y ' ' L = 2 w 0 L . E I L 4 L 2 - 1 6 L 3 + 1 6 L - L 2 3 + y ' ' 0 + y ' ' ' 0 . L = 0       ( I I )

E também temos y ' ' ' L = 0 :

y ' ' ' x = 2 w 0 L . E I L 2 L - 1 2 L 2 + 1 2 L - L 2 2 + y ' ' ' 0 = 0       ( I I I )

Da equação ( I I I ) , temos:

y ' ' ' 0 = - 2 w 0 L . E I L ² 2 - L ² 2 + 2 L 2 - L 2 2 2

y ' ' ' 0 = - 2 w 0 L . E I L 2 4 2

y ' ' ' 0 = - 2 w 0 L . E I L ² 8

Então:

y ' ' ' 0 = - w 0 L 4 E I

Substituindo y ' ' ' ( 0 ) na equação ( I I )

2 w 0 L . E I L 4 L 2 - 1 6 L 3 + 1 6 L - L 2 3 + y ' ' 0 - w 0 L 4 E I . L = 0

y ' ' 0 = w 0 L 2 4 E I - 2 w 0 L . E I L 4 L 2 - 1 6 L 3 + 1 6 2 L 2 - L 2 3

y ' ' 0 = w 0 L 2 4 E I - 2 w 0 L . E I L ³ 4 - L ³ 6 + 1 6 L 2 3

y ' ' 0 = w 0 L 2 4 E I - 2 w 0 L . E I L ³ 4 - L ³ 6 + L ³ 48

y ' ' 0 = w 0 L 2 4 E I - 2 w 0 L . E I 12 L 3 - 8 L 3 + L ³ 48

y ' ' 0 = w 0 L 2 4 E I - 2 w 0 L . E I 5 L ³ 48

y ' ' 0 = w 0 L 2 4 E I - 5 L ² w 0 24 E I

Fazendo MMC:

y ' ' 0 = 6 w 0 L 2 - 5 w 0 L ² 24 E I

y ' ' 0 = w 0 L 2 24 E I

Belezinha, agora é só jogarmos o y ' ' ( 0 ) e o y ' ' ' ( 0 ) lá na equação ( I ) :D

Passo 6

Temos

y ' ' ' 0 = - w 0 L 4 E I

y ' ' 0 = w 0 L 2 24 E I

E vamos substituir na equação ( I ) :

y x = 2 w 0 L . E I L 48 x 4 - 1 120 x 5 + 1 120 x - L 2 5 u x - L 2 + y ' ' 0 2 x 2 + y ' ' ' 0 6 x 3

y x = 2 w 0 L . E I L 48 x 4 - 1 120 x 5 + 1 120 x - L 2 5 u x - L 2 + w 0 L ² 48 E I x 2 - w 0 L 24 E I x 3

Ufaaaa, acabamos!!!

Resposta

y x = 2 w 0 L . E I L 48 x 4 - 1 120 x 5 + 1 120 x - L 2 5 u x - L 2 + w 0 L ² 48 E I x 2 - w 0 L 24 E I x 3

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