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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 2

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

d y d t + 2 y = t ,       y 0 = - 1

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

d y d t + 2 y = t ,       y 0 = - 1

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

d y d t + 2 y = t

s . Y s - y 0 + 2 Y s = 1 s ²

Sabemos do enunciado que y 0 = - 1 , então:

s . Y s - ( - 1 ) + 2 Y s = 1 s ²

s . Y s + 1 + 2 Y s = 1 s ²

s . Y s + 2 Y s = 1 s ² - 1

s . Y s + 2 Y s = 1 s ² - s 2 s 2

s . Y s + 2 Y s = 1 - s ² s ²

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s + 2 ) = 1 - s ² s ²

Y s = 1 - s ² s ² ( s + 2 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 - s ² s ² ( s + 2 )

Expandindo em frações parciais:

1 - s ² s ² ( s + 2 ) = A s + B s 2 + C s + 2

A . s . s + 2 + B s + 2 + C . s 2 = - s 2 + 1

s 2 . A + C + s . 2 A + B + 2 B = - s 2 + 1

Então temos o sistema:

A + C = - 1 2 A + B = 0 2 B = 1

De onde encontramos B = 1 2 ,   A = - 1 4 ,   C = - 3 4

Então:

Y ( s ) = - 1 4 s + 1 2 s 2 + - 3 4 s + 2

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = 1 4 + 1 2 t - 3 4 e - 2 t

Resposta

y t = 1 4 + 1 2 t - 3 4 e - 2 t

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