Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.Exercícios de Revisão - Ex. 38
Um circuito em série contém um indutor, um resistor e um capacitor para os quais , e , respectivamente. A voltagem
É aplicada ao circuito. Determine a carga instantânea no capacitor para se e .
Passo 1
Salveeee cara! Saca só, queremos resolver essa equação aqui:
Para , e . Além disso, é aplicada uma tensão
Que, utilizando o degrau unitário, podemos escrever assim:
Belezinha, pra resolvermos nossa equação diferencial, vamos usar a Transformada de Laplace, ok?
Então antes de começarmos, deixa só eu lembrar algumas transformadas aqui pra você:
E também pode ser útil a propriedade de translação:
Agora vamos!
Passo 2
Vamos fazer a transformada da equação:
Vai ficar assim:
Do enunciado, sabemos que e
Isolando :
Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, fechou?
Passo 3
Temos
Multiplicando em cima e embaixo por :
Vamos expandir a fração em frações parciais:
Igualando os termos em comum dos dois lados, temos
Da terceira equação, temos
Então
Portanto:
E então:
Passo 4
Temos
Podemos escrever isso assim:
Multiplicando a segunda fração por 10 em cima e embaixo:
Separando as frações:
No primeiro termo, temos a transformada de uma constante
No segundo, temos a transformada do cosseno com translação de 10 amostras
No terceiro, temos a transformada do seno com translação de 10 amostras
Como todos os termos estão multiplicando , teremos suas transformadas inversas normais e depois suas transformadas inversas com a influência de
Por fim:
E acabamossss