Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 46
Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termos tendem a . Mostre que
também é uma série com essa propriedade.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? O problema nos deu essa série aqui
E disse que sabemos que a série harmônica é divergente, mesmo seus termos tendendo a zero no infinito. Isso é devido ao fato da soma de alguns termos superarem , isso significa que mesmo que seus termos sejam cada vez menores, a soma deles ainda é significativa, e somando muitos, vamos ter infinito!
Então a ideia aqui é identificar o termo geral da nossa série e ir fazendo uma manipulação para abrir o logaritmo, assim vamos conseguir ver o comportamento dos termos!
Se eles forem típicos da série harmônica, sabemos que a nossa série também divergirá!
Mas relaxa, vou fazer contigo!
Passo 2
Pra resolver essa questão, vamos ter que achar a fórmula da soma parcial e ver se essa soma é maior do que um! Nossa série
O seu termo geral
Agora vamos calcular o limite, isso vai ser possível porque essa é uma série telescópica, veja só!
Fazendo MMC no argumento
Aplicando a propriedade
Tranquilo?
Passo 3
Olhando para a soma
Da pra ver que todos vão se cancelar entre somas e subtrações, menos e , portanto nossa soma fica
Como
Passo 4
Agora basta aplicar o limite
Como nosso limite deu infinito, a série diverge, assim como a série harmônica.