Quando você abre uma torneira de água quente, a temperatura T da água depende de quanto tempo a água está fluindo.(a) Esboce um gráfico possível de T em função do tempo t que decorreu desde que a torneira foi aberta.(b) Descreva como é a taxa de variação de T em relação a t quando t está crescendo.(c) Esboce um gráfico da derivada de T .

a) b) → Parte 1: T ' t = 0 ; → Parte 2: T ' t0 ; → Parte 3: T ' t = 0 .c)

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 66

Quando você abre uma torneira de água quente, a temperatura da água depende de quanto tempo a água está fluindo.

(a) Esboce um gráfico possível de em função do tempo que decorreu desde que a torneira foi aberta.

(b) Descreva como é a taxa de variação de em relação a quando está crescendo.

(c) Esboce um gráfico da derivada de .

Passo 1

Faaala, gente bonitaa! Tudo certinho com vocês?

Essa questão pede pra imaginarmos uma torneira de água quente e pergunta como a temperatura da água evolui com o tempo.

O enunciado divide essa pergunta em três partes:

No item (a), precisamos esboçar o gráfico de em função do tempo desde que a torneira é aberta.

O item (b) pede pra descrevermos como se comporta a taxa de variação de ao longo do tempo .

E pra fechar, o item (c) pede pra esboçarmos o gráfico da derivada de .

A primeira coisa que percebemos é que ele não um pingo de informação pra gente, né? Ele espera que a gente saiba como funciona o aquecimento da torneira??

Pior que é isso mesmo... Mas não surta ainda! Vamos tentar passar por esse processo de maneira resumida. Olha só:

Tenta imaginar que o aquecimento da água acontece em três partes diferentes:

Primeiro nós temos o fluxo daquela água em temperatura ambiente que já estava prestes a sair da torneira. Não dá tempo de aquecer essa porção da água antes dela sair.

Depois a água começa a ser aquecida e a sua temperatura começa a aumentar.

Só que essa temperatura não aumenta indefinidamente, certo? O que acontece, por fim, é que a água alcança uma determinada temperatura de uso e se mantem constante!

Agora que temos uma noção melhor de como as coisas funcionam, vamos pensar juntos sobre essa questão.

Passo 2

Vamos tentar atacar o item (a). Precisamos fazer um esboço do gráfico de .

Relembrando e resumindo, as três partes do aquecimento da água são:

Parte 1: Água em temperatura ambiente que já estava prestes a sair da torneira. Temos temperatura constante nesse intervalo.

Parte 2: Água aquecendo até atingir temperatura de uso. Temperatura subindo.

Parte 3: Água em temperatura de uso. Temperatura constante.

O gráfico fica mais ou menos assim:

Boa! Vamos pro próximo item.

Passo 3

O item (b) pede pra descrevermos como se comporta a taxa de variaç��o de .

De certa maneira, nós já fizemos isso pra entender como esboçar o gráfico, mas vamos oficializar.

Primeiramente, a temperatura é constante, o que significa que a taxa de variação é nesse intervalo.

Em seguida, a temperatura aumenta até alcançar a temperatura em que será utilizada. Podemos dizer que a taxa de variação da temperatura é positiva e aproximadamente constante.

Por fim, alcançamos a temperatura de uso e seu valor permanece constante. Então podemos dizer que a sua taxa de variação volta a ser .

Resumidamente:

Parte 1: ;