Enunciado

Seguindo as etapas apresentadas em 5.9 . 1 , fazer um esboço do gráfico da seguinte função:

y = ln ⁡ ( 2 x + 3 )

Passo 1

O primeiro passo é determinar o domínio da função, ou seja, D ( f ) .

Ela possui duas indeterminações, ou seja, ela não existe nos reais em x < 0 , pois não existe logaritmo natural de números negativos e em x = - 3 / 2 , pois zera a função. Logo:

D f = ( - 3 / 2 , + ∞ )

Passo 2

Podemos agora determinar os pontos de intersecção com os eixos.

A intersecção em y é mais simples de se determinar pois ocorre em x = 0 .

f 0 = ln ⁡ 2.0 + 3 = ln ⁡ 3

A intersecção em x , é dada para y = 0 :

0 = ln ⁡ 2 x + 3 ⇒ e 0 = e ln ⁡ ( 2 x + 3 ) ⇒ 1 = 2 x + 3 ⇒ 2 x = - 2 ⇒ x = - 1

Passo 3

Agora vamos determinar os pontos críticos da função. Para isso basta calcular a primeira derivada da função, iguala-la a zero e isolar a variável x .

Temos então que:

y ' = 1 2 x + 3 . 2 = 2 2 x + 3

⇒ y ' = 0 ⇒ N ã o   é   p o s s i v e l   i s o l a r   x ,   l o g o   n ã o   t e m o s   p o n t o s   c r í t i c o s .

Passo 4

O próximo passo é determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ( x ) .

Como y ' = 2 2 x + 3 > 0 , a função é sempre crescente.

Passo 5

Vamos determinar os pontos de máximos e mínimos relativos. Podemos aplicar o teste da segunda derivada.

O teste da segunda derivada diz que:

  1. Se f ' ' k < 0 , f tem um valor máximo relativo em k .
  2. Se f ' ' k > 0 , f tem um valor mínimo relativo em   k .

Porém como não temos pontos críticos, não temos pontos de máximos nem mínimos.

Passo 6

Determinando agora a concavidade e os pontos de inflexão, ainda pelo teste da segunda derivada.

Por definição a concavidade de uma função pode ser analisada de acordo com a sua segunda derivada. Se f é uma função contínua em um certo intervalo [ a , b ] e derivável até 2ª ordem no intervalo ( a , b ) , temos que:

  1. Se f ' ' x > 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   c i m a   e m   a . b .
  2. Se f ' ' x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ a , b ,   e n t ã o   f   é   c ô n c a v a   p a r a   b a i x o   e m   a . b .

y ' ' = 0 2 x + 3 - 2.2 2 x + 3 2 = - 4 2 x + 3 2

Como y ' ' < 0 , não temos pontos de inflexão e a concavidade é voltada para baixo.

Passo 7

Devemos analisar se a função possui assíntotas. Como nossa função possui dois pontos de indeterminação, precisamos calcular o limite da função com x → + ∞ e x → - 3 / 2 .Se o resultado do limite for infinito quando ela tender a infinito, ela não possui assíntota. No caso do limite tendendo a um número de indeterminação da função, se o limite resultar em infinito, a função tem uma assíntota naquele ponto. Assim:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) = ∞

lim x → - 3 / 2 ⁡ ln ⁡ ( 2 x + 3 ) = - ∞

Logo a função possui assíntota vertical em x = - 3 / 2   .

Passo 8

Por fim, esboçamos o gráfico da função:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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