Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 57
Você está para construir uma caixa aberta retangular com base quadrada e um volume de . Se o material para o fundo custa e o material para os lados custa , que dimensões resultarão em uma caixa menos cara? Qual é o custo mínimo?
Passo 1
Para começarmos a pensar em uma caixa menos cara ou em custo mínimo, galera, precisamos determinar uma expressão do custo para a caixa. Segundo o enunciado, temos que o volume da caixa é . Sendo assim, temos que:
No qual é a altura da caixa e é a base da mesma. Continuando, temos:
A área da base da caixa é dada por , já a área dos lados da caixa é dada por . Opa, pera aí! Por que aparece esse multiplicando ? Como a caixa é aberta, galera, então ela possui 5 lados, certo? 1 desses lados é a base, então restão 4 lados, que são exatamente as laterais da caixa. Sendo assim, escrevendo uma expressão para o custo dessa caixa, teremos:
Passo 2
Agora que temos uma expressão para o custo da caixa, para descobrirmos em dimensões que deixem a caixa menos cara, assim como o custo mínimo, devemos derivar a função que temos e igualar a zero, saca só:
Agora que encontramos um ponto candidato a mínimo (que é o que desejamos), precisamos conferir se é, de fato, um mínimo! Para descobrirmos isso, uma das melhores maneiras é utilizar a derivada segunda. Caso o valor da derivada segunda nesse ponto dê positivo, então é um mínimo, mas se der negativo, então é um máximo. Botando esses conceitos em prática, teremos:
Como o valor deu maior que zero, então isso implica que é um mínimo, de fato!
Passo 3
Agora que encontramos o ponto especial, basta substituirmos esse mesmo ponto na equação do custo que encontramos lááá no passo 1, saca só:
As dimensões são: