Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 52
Você opera uma agência de excursões que pratica os seguintes preços:
• por pessoa, caso pessoas (o número mínimo necessário para fechar um grupo) participem da excursão.
• Para cada pessoa a mais, até um máximo de pessoas, o preço é reduzido em.
A realização da excursão custa (custo fixo) mais por pessoa. Quantas pessoas são necessárias para maximizar o lucro?
Passo 1
Então galera, para começarmos a pensar em como maximizar o lucro dessa agência, primeiro temos que encontrar uma expressão do lucro, não é mesmo? Chamando de quantidade de pessoas a mais do que as originais e utilizando os dados que a questão nos cede, teremos:
Opaaa, pera aí! Da onde saiu essa expressão? Vamos por partes:
O termo representa o fixo de pessoas mais a quantidade de pessoas que pode ter na viagem. Esse termo aparece multiplicado por ) porque é o preço para cada pessoa e, a cada pessoa a mais (), o preço é reduzido em , é por isso que vem acompanhado com o sinal de negativo também. O prejuízo da agência é o custo de por pessoa acrescido dos que é um valor fixo!
Passo 2
Ufa! Agora que encontramos e demos significado para a expressão do passo 1, podemos começar a pensar em maximização. Antes disso, vamos simplificar a expressão, se liga:
Para encontrarmos o máximo dessa função, vamos encontrar seus pontos críticos derivando a mesma e igualando a zero, como manda o figurino! Fazendo isso, teremos:
Para confirmarmos se esse valor é um máximo de fato, vamos derivar novamente a equação do lucro (derivada segunda) para ver a concavidade do gráfico dessa função:
Como a derivada segunda deu um valor menor do que zero então, de fato, é um máximo. Portanto, para maximizar o lucro, a quantidade necessária de pessoas será: