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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 40

40. Movimento sobre uma reta. As posições de duas partículas no eixo s são s 1 = s e n   t e s 2 = s e n   t + π 3 , com s 1 e s 2 em metros e t em segundos.

a. Em que instante(s) no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π as partículas se encontram?

b. Qual é a distância máxima entre as duas partículas?

c. Quando, no intervalo 0 ≤ t ≤ 2 π , a distância entre as partículas varia mais rapidamente?

Passo 1

a) As partículas se encontram quando suas posições são iguais, não é verdade pessoal? Sendo assim, para descobrirmos isso, basta igualarmos as equações de s 1 e s 2 , saca só:

s 1 = s 2

s e n   t = s e n   t + π 3

Utilizando a soma de arcos para a função seno, teremos:

s e n   t = s e n   t . cos ⁡ π 3 + s e n   π 3 . cos ⁡ t

s e n   t = s e n   t . 1 2 + 3 2 . cos ⁡ t

s e n   t - 1 2 s e n   t = 3 2 . cos ⁡ t

1 2 s e n   t = 3 2 . cos ⁡ t   ⇒ t g   t = 3

Note que aqui foram só passos algébricos, beleza? Só isolamos s e n   t de um lado e cos ⁡ t do outro! Mas agora temos que saber pra quais valores de t a tangente resulta em 3 . Segundo a trigonometria, os valores para que isso ocorra são: t = π 3 ou t = 4 π 3 .

Passo 2

b) Para descobrirmos a distância máxima entre as partículas, temos que fazer o seguinte, pessoal:

s t = s 1 - s 2

Substituindo as euações s 1 e s 2 , teremos:

s t = s e n   t - s e n   t + π 3

E como essa soma de arcos já foi resolvida no passo anterior:

s t = s e n   t - s e n   t . 1 2 + 3 2 . cos ⁡ t

∴ s t = 1 2 s e n   t - 3 2 . cos ⁡ t  

Passo 3

A expressão que encontramos se trata apenas da distância entre as partículas, mas se estivermos procurando a distância MÁXIMA, devemos derivar a função e igualar a zero para encontrar os pontos críticos, se liga:

s ' t = 1 2 . cos ⁡ t + 3 s e n   t

No entanto, ignoramos o módulo, não é mesmo? Para que essa derivada esteja correta, devemos fazer:

s ' t = 1 2 . ( s e n   t - 3 cos ⁡ t ) s e n   t - 3 cos ⁡ t . cos ⁡ t + 3 s e n   t

Que é uma abordagem que faz muito sentido, por mais que não seja tão intuitiva. Quando retirarmos o módulo, caso ele dê positivo, a divisão resultará em 1 , que é o resultado da derivada que encontramos anteriormente. Se der negativo, então a disivão resultará em - 1 , que é o negativo do resultado da derivada que encontramos anteriormente. Em outras palavras, dá no mesmo! Igualando a derivada a zero, teremos:

1 2 . ( s e n   t - 3 cos ⁡ t ) s e n   t - 3 cos ⁡ t . cos ⁡ t + 3 s e n   t = 0

s e n   t - 3 cos ⁡ t . cos ⁡ t + 3 s e n   t = 0

Os pontos para que esse produto dê zero, segundo a trigonometria, serão:

0 , π 3 , 5 π 6 , 4 π 3 , 11 π 6   e   2 π

Passo 4

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos substituir cada ponto na função s ( t ) para descobrirmos qual será o maior valor de s e, portanto, o valor máximo. Se liga como vai ficar:

s 0 = s e n   0 - s e n   0 + π 3 = 3 2

s π 3 = s e n   π 3 - s e n   π 3 + π 3 = 0

s 5 π 6 = s e n   5 π 6 - s e n   5 π 6 + π 3 = 1

s 4 π 3 = s e n   4 π 3 - s e n   4 π 3 + π 3 = 0

s 11 π 6 = s e n   11 π 6 - s e n   11 π 6 + π 3 = 1

s 2 π = s e n   2 π - s e n   2 π + π 3 = 3 2

Sendo assim, a distância máxima entre as partículas é 1 , uma vez que dentre todos os pontos, 1 foi o maior valor encontrado!

Passo 5

c) A distância entre as partículas varia mais rapidamente, segundo a derivada que encontramos no passo anterior, nos pontos em que a distância entre eles resultou em 0 . Ok, mas por que ocorre maior variação nesses pontos específicos? Se a derivada em um ponto dá zero, isso implica que pode haver máximo ou mínimo local, galera! Se isso está ocorrendo, então fisicamente as partículas estão mudando de direção, o que implica em uma variação maior do que em outros momentos.

Portanto, concluímos que os pontos (dentro do intervalo solicitado pela questão) em que a distância entre as partículas varia mais rapidamente são:

π 3   e 4 π 3  

Resposta

a) t = π 3 ou t = 4 π 3

b) s m á x = 1   m

c) π 3 e   4 π 3

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