Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 36b
Resolva o Exercício 35, se uma das partes for dobrada na forma de um triângulo equilátero, e a outra, na forma de um quadrado.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Vamos lá: temos 10 m de arame para usar. Ou seja, o perímetro total das duas figuras vai ser:
Onde:
é o lado do quadrado.
é o lado do triângulo.
E a área total (que é a função que queremos minimizar) será:
Passo 3
Temos uma função de duas variáveis, não podemos achar os máximos e mínimos dela dessa forma :( Mas não tem problema, podemos isolar o na equação do perímetro e jogar o valor de em e ficar só com . Isolando na primeira equação:
Agora jogando isso na equação da área total:
Agora sim temos um polinômio bonitinho em uma variável só pra derivar e tudo mais!
Passo 4
Agora vamos derivar
Agora igualando a :
Já temos o valor de nesse extremo! Agora precisamos verificar o valor da função nesse ponto para saber se ele é um máximo ou um mínimo comparado com os valores no extremo do intervalo. Repare que .
Passo 5
Fazendo e :
Daí vemos que o valor que nos dá a maior área é . Ou seja, o lado do quadrado deve ser cm e o lado do triângulo deve ser cm.
Resposta
O lado do quadrado deve ser cm e não há triângulo.