Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 43
43. Resistência de uma viga. A resistência S de uma viga retangular de madeira é proporcional à sua largura multiplicada pelo quadrado da sua profundidade. (Veja a figura a seguir.)
a. Determine as dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada a partir de um tronco de 12 pol. de diâmetro.
b. Esboce o gráfico de em função da largura da viga, considerando a constante de proporcionalidade . Concilie o que você observar neste item com sua resposta do item (a).
c. Na mesma tela, esboce o gráfico de em função da profundidade da viga, mantendo. Compare um gráfico com o outro e também com a resposta do item (a). Qual seria o efeito de mudar para algum outro valor de ? Tente descobrir.
Passo 1
a) Segundo o enunciado, a resistência de uma viga é proporcional à sua largura multiplicada pelo quadrado da sua profundidade. Se escrevermos uma expressão para isso, teremos:
Mas quem é esse ? Como o enunciado fala sobre proporcionalidade, então é a constante de proporcionalidade da equação, ok? Mas quem é ? Se utilizarmos o teorema de Pitágoras na figura que nos foi dada, teremos:
Note que a hipotenusa do triângulo é o diâmetro da circunferência, que é duas vezes o raio, ok? Isolando , teremos:
Substituindo na expressão da resistência , teremos:
Como , segundo a própria figura, então temos:
Passo 2
Agora que temos uma expressão para a resistência, como fazemos para descobrir o valor máximo da mesma? Basta utilizarmos o conceito de máximo e mínimo, galera! Derivando a função em questão e igualando a zero, teremos:
Esses pontos descobertos são os pontos críticos da função, que podem ou não ser máximos ou mínimos locais. Utilizando a segunda derivada, teremos:
Para os pontos que encontramos, teremos:
Como , então isso implica que há um máximo global no gráfico da função , sendo assim, podemos concluir que ) apresenta valor máximo de resistência para a viga.
Aplicando o ponto para descobrirmos a profundidade da viga, teremos:
Sendo assim, temos que:
Passo 3
b) Se plotarmos o gráfico de , teremos:
Passo 4
c) Se plotarmos o gráfico de , teremos:
Em resposta à letra b) também, pelos gráficos podemos notar que, de fato, o valor que encontramos na letra a) é totalmente consistente com essas representações. Ambos os gráficos apresentam o mesmo valor máximo, que é o que esperávamos! Ademais, alterar não altera as dimensões da viga.
Resposta
a)
b) 
c) 