Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 30
Durante a tosse há um decréscimo no raio da traqueia de uma pessoa. Suponha que o raio normal da traqueia seja cm e que durante a tosse o raio seja de cm, onde é uma constante e uma variável. Podemos mostrar que a velocidade do ar através da traqueia é uma função de e se cm/s for essa velocidade, então
Onde k é uma constante positiva e está em . Determine o raio da traqueia durante a tosse, para o qual a velocidade do ar através da traqueia seja máxima.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema, mas ele já dos deu a equação, então xuxu beleza.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
A equação que queremos maximizar é:
Reescrevendo de um jeito mais “derivável”:
Passo 3
Agora derivando :
Igualando a :
Podemos dividir tudo por , já que .
Como
Esse é um dos pontos que pode ser o valor extremo de nosso interesse. Agora precisamos comparar o valor da imagem de às imagens dos valores dos extremos do intervalo onde está definido.
Passo 4
Vamos fazer e e ver qual dos três será maior:
Então nossa resposta é
Resposta
cm/s.