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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 33

Voleibol Uma bola de voleibol é golpeada quando está 4 pés acima do solo e 12 pés da rede, de 6 pés de altura. A bola deixa o ponto de impacto com velocidade inicial de 35 pés/s com um ângulo de 27º e passa pelo time adversário sem ser tocada.

a. Encontre uma equação vetorial para a trajetória da bola.

b. Qual a altura alcançada pela bola e quando ela atinge sua altura máxima?

c. Encontre seu alcance e tempo de trajetória no ar.

d. Quando a bola está 7 pés acima do solo? A que distância (no solo) a bola está do ponto onde atingirá o solo?

e. Suponha que a rede seja elevada para 8 pés. Isso muda as coisas? Explique.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos com calma porque esse é um pouquinho maior que os anteriores. Vamos anotar as informações antes de tudo:

Ângulo: 27°.

Velocidade inicial: 35 pés/s.

Altura inicial: 4 pés.

Aceleração da gravidade: 32 pés/ s 2 .

  1. Vãos relembrar a equação vetorial da cinemática:

    2. r t = x t i + y t j

    Sendo x t = v 0 cos ⁡ α t e y t = y 0 + v 0 s e n   α   t - 1 2 g t 2 , bora então substituir os dados na equação e botar na equação vetorial.

    x t = 35 cos ⁡ 27 °   t e y t = 4 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2

    Então,

    r t = 35 cos ⁡ 27 °   t i + 4 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2 j

    Passo 2

  2. Altura máxima, só jogar na fórmula.

    3. y m a x = y 0 + v 0   s e n   α 2 2 g

    y m a x = 4 + 35   s e n   27 2 2 ⋅ 32

    y m a x = 7,94   p é s

    E seu tempo é:

    t = v 0   s e n   α g

    t = 35   s e n   27 ° 32

    t = 0,497 s

    Passo 3

  3. Para o tempo de alcance, basta substituir y por 0,

    4. y t = 4 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2 = 0

    4 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2 = 0

    Resolvendo essa equação, sento tempo um valor positivo, t = 1,2 s .

    E o alcance para esse tempo é:

    x 1,2 = 35 cos ⁡ 27 °   1,2

    x 1,2 = 37,45   p é s

    Passo 4

  4. Para 7 pés acima do solo, trocaremos y por 7 e resolver igual ao item anterior.

    5. y t = 4 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2 = 7

    - 3 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2 = 0

    Resolvendo essa equação, sento tempo um valor positivo, t = 0,254 s   e   t = 0,74 s .

    E o alcance para esses tempos são :

    x ( 0,254 ) = 35 cos ⁡ 27 °   0,254

    x 0,254 = 7,92   p é s

    x ( 0 , 74 ) = 35 cos ⁡ 27 °   0,74

    x 0,74 = 23,08   p é s

    Para descobrir em relação ao solo é só subtrair do alcance encontrado no item anterior

    37,45 - 7,92 = 29,53   p é s

    37,45 - 23,08 = 14,37   p é s

    Passo 5

  5. Como nós encontramos que o y máximo, no item b, é menor do que 8, então caso a rede seja elevada para 8 pés, a bola não vai atravessar.

Bora pro próximo!

Resposta

  1. r t = 35 cos ⁡ 27 °   t i + 4 + 35   s e n   27 ° t - 16 t 2 j
  2. y m a x = 7,94   p é s e t = 0,497 s
  3. t = 1,2 s e x 1,2 = 37,45   p é s
  4. t = 0,254 s   e   t = 0,74 s e o alcance em relação ao solo é, 29,53 pés e 14,37 pés, respectivamente.
  5. Como nós encontramos que o y máximo, no item b, é menor do que 8, então caso a rede seja elevada para 8 pés, a bola não vai atravessar.

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