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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 42

Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo para funções escalares de uma variável real também é válido para funções vetoriais de uma variável real. Prove que essa afirmação é verdadeira utilizando o teorema para funções escalares para mostrar primeiro que, se uma função vetorial r(t) é contínua para a ≤ t ≤ b , então

d d t ∫ a t r τ d τ = r t

em todo ponto t de (a, b). Em seguida, utilize a conclusão no item (b) do Exercício 41 para mostrar que, se R é qualquer antiderivada de r em [a, b], então

∫ a b r t d t = R b - R ( a )

Passo 1

Fala minha galera querida!! Força, bora para mais um.

Sabendo que r t = f t i + g t j + h t k , vamos começar.

  1. Vamos abrir a integral,

d d t ∫ a t r τ d τ = d d t ∫ a t f τ i + g τ j + h τ k d τ

= d d t ∫ a t f τ d τ   i + d d t ∫ a t g τ d τ   j + d d t ∫ a t h τ d τ   k

= f t i + g t j + h t k = r ( t )

Passo 2

Como d d t ∫ a t r τ d τ = r t , sabemos que a integral é a antiderivada de r.

Se R é uma antiderivada qualquer de r, então

R t = ∫ a t r τ d τ + C

Como vimos no exercício anterior.

Estipulando t = a , vamos descobrir o valor da constante C

R a = ∫ a a r τ d τ + C

R a = C

Podemos reescrever da seguinte maneira e concluir o teorema fundamental do cálculo,

R t = ∫ a t r τ d τ + R a

∫ a t r τ d τ = R t - R ( a )

Bora pro próximo!

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada da função vetorial. r t = 1 1 + t i + t 1 + t j + t 2 1 + t k
Prove:b ) underset(X - P)(lim) F (X) = L harr underset(X - P)(lim) ||F (X) - L|| = 0 .
Prove:underset(X - P)(lim) F (X) = vec 0 harr underset(X - P)(lim) ||F (X)|| = vec 0 . (vec 0 é o v e t o r n u l o d e R^m) é
Prove:c ) underset(H - vec 0)(lim) F (P + H) = L harr underset(X - P)(lim) F (X) = L .
Suponha que underset(X - P)(lim) F ( X ) = L , c o m L != 0 . Prove que existe r0 tal que:0||X - P||r - ||F (X)||(||L||)/(2)